[科普中国]-对顶角

定义

在几何学中，对顶角是两个角之间的一种位置关系。两条直线相交时会产生一个交点，并产生以这个交点为顶点的四个角。称其中不相邻的两个角互为对顶角。或者说，其中的一个角是另一个的对顶角。

对顶角满足下列定理：两直线相交，对顶角相等。1

用数学语言描述就是：

设直线AD、BC交于点O。则形成四个角：∠AOB、∠COD、∠AOC、∠BOD。其中，∠AOB和∠COD互为对顶角，∠AOC和∠BOD互为对顶角。∠AOB = ∠COD，∠AOC = ∠BOD。

例子如图1， 两条直线相交，构成两对对顶角。∠1与∠3为一对对顶角，∠2与∠4为一对对顶角。

注意：1

1.对顶角一定相等，但是相等的角不一定是对顶角。

2.对顶角必须有共同顶点。

3.对顶角是成对出现的。

在证明过程中使用对顶角的性质时，以 图1为例，

∴∠1=∠3，∠2=∠4(对顶角相等)。

巧算对顶角任何两条直线可以看成一个组合，这样的组合有C(n，2)=n(n-1)/2 ，每个组合有两对对顶角 ，因此n条直线相交于一点，共有2C(n，2)=n(n-1)对。即：

2条直线相交于一点，有(2)对不同的对顶角；

3条直线相交于一点，有(6)对不同的对顶角；

4条直线相交于一点，有(12)对不同的对顶角；

..............

n条直线相交于一点，有n(n-1)对不同的对顶角。

性质如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。

在同一平面内，互为对顶角的两个角相等。

历史勒斯生于希腊，是一位擅长于几何学的数学家及哲学家。他一生发现了多个几何学定理，包括等腰三角形中的“等边对等角”定理，也包括对顶角定理。

对顶角定理设直线AD、BC交于点O，那么，∠AOB和∠AOC 互为邻补角。根据邻补角的性质，

其中是一个平角的弧度数。

类似地，∠COD和∠AOC 互为邻补角。根据邻补角的性质，

因此，

两边减去相同的角度 后，就得到

。

同样地，可以证明。

用途对顶角通常用于测量角度以及证明全等三角形。以下是一个利用对顶角证明全等三角形的例子：

如右图，已知AB=CD，∠BAE=∠CAE。求证：。

证明：在△ABE与△DCE中，

因此，。

在以上证明中，∠AEB=∠CED的结论就是通过对顶角定理得出的。注意，在一般的几何证明中，对顶角定理并不需要显式地叙述出来，可以当作是默认的条件。