[科普中国]-牛顿法

起源

牛顿法最初由艾萨克·牛顿在《流数法》（Method of Fluxions，1671年完成，在牛顿去世后的1736年公开发表）中提出。约瑟夫·鲍易也曾于1690年在Analysis Aequationum中提出此方法。

原理把非线性函数在处展开成泰勒级数

取其线性部分，作为非线性方程的近似方程，2则有

设 ，则其解为

因为这是利用泰勒公式的一阶展开， 处并不是完全相等，而是近似相等，这里求得的 并不能让 ，只能说 的值比 更接近 ，于是乎，迭代求解的想法就很自然了，

再把f(x)在x1 处展开为泰勒级数，取其线性部分为 的近似方程，若 ，则得 如此继续下去，得到牛顿法的迭代公式： ，通过迭代，这个式子必然在 的时候收敛。整个过程如右图：

例1 用牛顿法求方程 在 内一个实根，取初始近似值=1.5。 解 所以迭代公式为：

列表计算如下：

|| ||

切线法方程f(x)=0的根就是曲线y=f(x)与x轴交点的横坐标x*，当初始近似值x0选取后，过( x0,f(x0))作切线，其切线方程为：y- f(x0)=f′(x0)(x-x0)

一般地，设Xn是x*的第n次近似值，过( x,f(x))作y=f(x)的切线，其切线与x轴交点的横坐标为： 即用切线与x轴交点的横坐标近似代表曲线与x轴交点的横坐标。

牛顿法正因为有此明显的几何意义，所以也叫切线法。

定理设f(x)在[a,b]满足

(1) f(a)·f(b)0, x∈[a,b] 则方程f(x)=0在[a,b]上有且只有一个实根，由牛顿法迭代公式计算得到的近似解序列收敛于方程 f(x)=0 的根 x*。

由方程f(x)=0得到的牛顿迭代形式：

由于f(x*)=0，所以当f′(x*)≠0时， (x* )= 0，牛顿法至少是二阶收敛的，即牛顿法在单根附近至少是二阶收敛的，在重根附近是线性收敛的。

牛顿法收敛很快，而且可求复根，缺点是对重根收敛较慢，要求函数的一阶导数存在。

其它例子第一个例子求方程的根。令，两边求导，得。由于2，则，即，可知方程的根位于0和1之间。我们从开始。

第二个例子牛顿法亦可发挥与泰勒展开式，对于函式展开的功能。

求a的m次方根。

设

而a的m次方根，亦是x的解，

以牛顿法来迭代：

（或 ）

应用求解最值问题

牛顿法也被用于求函数的最值。由于函数取最值的点处的导数值为零，故可用牛顿法求导函数的零点，其迭代式为