[科普中国]-双三次插值

定义

在数值分析这个数学分支中，双三次插值（英语：Bicubic interpolation）是二维空间中最常用的插值方法。在这种方法中，函数f在点 (x,y) 的值可以通过矩形网格中最近的十六个采样点的加权平均得到，在这里需要使用两个多项式插值三次函数，每个方向使用一个。

双三次插值又叫双立方插值，用于在图像中“插值”（Interpolating）或增加“像素”（Pixel）数量/密度的一种方法。通常利用插值技术增加图形数据，以便在它打印或其他形式输出的时候，能够增大打印面积以及（或者）分辨率。

目前有不同的插值技术可供选用。双立方插值通常能产生效果最好，最精确的插补图形，但它速度也几乎是最慢的。“双线性插值”（Bilinear interpolation）的速度则要快一些，但没有前者精确。在商业性图像编辑软件中，经常采用的是速度最快，但也是最不准确的“最近相邻”（Nearest Neighbor）插值。其他一些插值技术通常只在高档或单独应用的程序中出现。

显然，无论技术多么高级，插补过的数据肯定没有原始数据准确。这意味着对一个图形文件进行插值处理后，虽然文件长度增加了（数据量增大），但不会有原先那幅图锐利，可能会在图形质量上打折扣。

属性通过双三次插值可以得到一个连续的插值函数，它的一阶偏导数连续，并且交叉导数处处连续。

公式双三次插值通过下式进行计算：1

或者用一种更加紧凑的形式，

计算系数的过程依赖于插值数据的特性。如果已知插值函数的导数，常用的方法就是使用四个顶点的高度以及每个顶点的三个导数。一阶导数与 表示 x 与 y 方向的表面斜率，二阶相互导数表示同时在 x 与 y 方向的斜率。这些值可以通过分别连续对 x 与 y 向量取微分得到。对于网格单元的每个顶点，将局部坐标（0,0, 1,0, 0,1 和 1,1) 带入这些方程，再解这 16 个方程。

应用双三次插值算法经常用于图像或者视频的缩放，2它能比占主导地位的双线性滤波算法保留更好的细节质量。