[科普中国]-伯努利分布

定义

一个非常简单的试验是只有两个可能结果的试验，比如正面或反面，成功或失败，有缺陷或没有缺陷，病人康复或未康复。为方便起见，记这两个可能的结果为0和1，下面的定义就是建立在这类试验基础之上的。2

如果随机变量X只取0和1两个值，并且相应的概率为：

则称随机变量X服从参数为p的伯努利分布，若令q=1一p，则X的概率函数可写

为：

要证明该概率函数 确实是公式所定义的伯努利分布，只要注意到 ，就很容易得证。2

如果X服从参数为p的伯努利分布，则：

并且，

进而，X的矩母函数为：

伯努利试验如果无穷随机变量序列 是独立同分布(i．i．d．)的，而且每个随机变量 都服从参数为p的伯努利分布，那么随机变量 就形成参数为p的一系列伯努利试验。同样，如果n个随机变量 独立同分布，并且都服从参数为p的伯努利分布，则随机变量 形成参数为p的n重伯努利试验2。

下面举几个例子加以说明，假定重复抛掷一枚均匀硬币，如果在第i次抛掷中出现正面，令 ；如果出现反面，令 ，那么，随机变量 就形成参数为 的一系列伯努利试验，同样，假定由一个特定机器生产的零件中10%是有缺陷的，随机抽取n个进行观测，如果第i个零件有缺陷，令 ；如果没有缺陷，令 ，那么，随机变量 就形成参数为 的n重伯努利试验2。