概念定义
设D表示一个实数集合(闭区间,开区间,区间的并,集合等),设
是定义在D上的实值函数,如果存在
,使得对D中任何冀
,
,当
时,有1
当时,
那么就说是定义在D上的单峰函数(图1),换句话说,如果
在
左边递增,在
右边递减,那么
就是D上的单峰函数,
就是
在D上的最大值(峰值)
称为峰值点。1
类似.如果存在,使得D中任何
,
,当
时,有
当时,有
那么就说是D上的单谷函数,
称为谷值点(图2)。
实例分析例1 二次函数当
时,为单峰函数,当
时,为单谷函数。1
例2 函数在
为定数)上为单峰函数,而在
(
均为定数)上为单谷函数。
例3 使用单因素优选法的经验表明,单因素实验指标函数大多为单峰(谷)函数。
例4 函数,
,
,
在整个定义域上不是单峰函数,也不是单谷函数。
由定义可知,单峰函数在定义域上有最大值(峰值),单谷函数有最小值(谷值),这就确定了这函数类在处理极值问题中的地位。
单蜂函数的性质由定义可知,在闭区间或有限集合上的单调函数既为单峰函数,又为单谷函数,这样,就容易证明,对集合D,如是D上单峰函数,
,则
是D'上的单峰函数,对单谷函数也一样,归纳起来,单峰(谷)函数有如下性质。1
性质1 单峰函数在其定义域的任何子集上,仍为单峰函数,对单谷函数也一样。
性质2 若为单峰(谷)函数,那么
(
、
为常数),当
>0时,仍为单峰(谷)函数,当