[科普中国]-单峰函数

概念定义

设D表示一个实数集合(闭区间，开区间，区间的并，集合等)，设是定义在D上的实值函数，如果存在，使得对D中任何冀，，当时，有1

当时，

那么就说是定义在D上的单峰函数(图1)，换句话说，如果在左边递增，在右边递减，那么就是D上的单峰函数，就是在D上的最大值(峰值)称为峰值点。1

类似．如果存在，使得D中任何，，当时，有

当时，有

那么就说是D上的单谷函数，称为谷值点(图2)。

实例分析例1 二次函数当时，为单峰函数，当时，为单谷函数。1

例2 函数在为定数)上为单峰函数，而在（均为定数）上为单谷函数。

例3 使用单因素优选法的经验表明，单因素实验指标函数大多为单峰(谷)函数。

例4 函数，，，在整个定义域上不是单峰函数，也不是单谷函数。

由定义可知，单峰函数在定义域上有最大值(峰值)，单谷函数有最小值(谷值)，这就确定了这函数类在处理极值问题中的地位。

单蜂函数的性质由定义可知，在闭区间或有限集合上的单调函数既为单峰函数，又为单谷函数，这样，就容易证明，对集合D，如是D上单峰函数，，则是D'上的单峰函数，对单谷函数也一样，归纳起来，单峰(谷)函数有如下性质。1

性质1 单峰函数在其定义域的任何子集上，仍为单峰函数，对单谷函数也一样。

性质2 若为单峰(谷)函数，那么(、为常数)，当>0时，仍为单峰(谷)函数，当