[科普中国]-张量分析

起源与发展

张量分析起源于德国数学家格拉斯曼的超复数理论和英国数学家哈密顿于1843年建立的四元数理论。格拉斯曼于1844年在《线性扩张论》中独立给出n个分量的超复数，称之为扩张的量，论述了超复数作为向量的运算法则及几何意义，1855年又进行了总结。19世纪50年代后，黎曼、贝尔特拉米、克里斯托费尔和李普希茨等人建立并发展了微分不变量理论，为张量分析提供了基础。1884—1894年意大利数学家里奇创立绝对微分学理论，并应用于微分几何和物理学的某些问题中。里奇还引入“张量”概念，论述了张量分析中的许多基本理论，有一类二阶共变张量场叫做里奇张量。里奇与他的学生列维-齐维塔合著的《绝对微分法及其应用》(1901)成为张量分析的经典著作，其中指出了如何把某些偏微分方程及物理规律表示成张量的形式，以便使它们与坐标系无关。1916年爱因斯坦成功地达到这一目标，用数学不变式表达了广义相对论。另一方面爱因斯坦的工作也促进了张量分析的发展，“张量分析”这一名称就是他于1916年开始使用的。张量分析在20世纪上半叶由荷兰数学家斯豪滕等人进一步发展。1

克里斯托费尔符号第一种克里斯托费尔符号 .

第二种克里斯托费尔符号 又

克里斯托费尔符号表示基本张量的导数

克里斯托费尔符号的变换律

矢量的协变微分基矢量的协变导数

逆变矢量的协变导数

协变矢量的协变导数

矢量的协变导数是二阶张量

张量的协变微分

协变微分法规则协变微分法服从规律——两张量之和（或差）的协变导数是它们的协变导数之和（或差）；两张量的外积（或内积）的协变导数等于两项之和，每项是一个张量外乘（或内乘）另一张量的协变导数。2

不变微分算子梯度

散度

旋度

拉普拉斯算子

内禀微分绝对导数

实质导数

相对张量权为w的相对纯量

权为w的相对矢量

权为w的相对二阶混合张量

权为1的相对张量(张量密度)