[科普中国]-线性运算

矩阵的线性运算

矩阵的加法和数乘运算，统称为矩阵的线性运算。1

矩阵加减法定义 设

是两个 型矩阵，则矩阵

称为 和 的和，记为

矩阵的加法就是矩阵对应元素相加，当然，相加的矩阵必须要有相同的行数和列数，即只有同型矩阵方可相加。

由于矩阵加法归结为它们元素的加法，即数的加法，故不难验证矩阵加法满足：

(1)结合律：

(2)交换律：

明显地，对零矩阵，有 。

定义2 矩阵

称为矩阵 的负矩阵，记为。

显然，有 一0，从而可定义矩阵减法为

我们可以将负矩阵 看做是实数一1和矩阵 相乘所得，从而抽象出一般数和矩阵的数量乘法。1

矩阵数量乘积定义 矩阵

称为矩阵 与数 的数量乘积，记为。换句话说，用数 乘以矩阵 ，就是把矩阵的每个元素都乘上 。1

不难验证。数量乘积满足下列运算规律：

(1) (结合律)；

(2) ；

(3) 。

向量的线性运算向量的加法和数乘运算，统称为向量的线性运算。2

向量的加减法设n维向量 ， ，规定向量 与 的和为

规定向量 与 的差为

向量的数乘 设n维向量 ，各分量乘以数k所构成的向量，称为数k与向量的数量乘积，简称数乘，记做 ，即

容易验证得到：

(1 ) （加法交换律）；

(2) （加法结合律）；

(3) ；

(4) ；

(5) （数乘分配律）；

(6) （数乘分配律）；

(7) （数乘结合律）；

(8) 。

上述定义与性质是针对行向量而言的，当与为列向量时，有类似结论。2