[科普中国]-对偶原理

基础知识

在射影平面上，如果在一个射影定理中把点与直线的观念对调，即把点改成直线，把直线改成点，把点的共线关系改成直线的共点关系，所得的命题仍然成立，这称为对偶原理。可以利用有心二次曲线的配极映射来完成。

例如，德沙格定理是有关点、直线以及它们的衔接关系的定理，它是一个射影定理。它的对偶定理就是它的逆定理。该原理也可推广到n维射影空间中去。1

产生柏斯卡著名的“神秘的六边形”定理和布里安昌定理都具有对偶关系，其中前一定理是帕斯卡在1640年于其标题为《略论圆锥曲线》的一张大幅印刷品中公布的；而后一定理则是在1806年由巴黎高等工艺学院的学生C.J.BrianCho首先发表的。这两个定理的出现，时间间隔长达150多年。在这期间，数学家们己经注意到，如果将关于平面图形定理中的点和直线互换的话，得到的相应陈述往往是正确的。至于出现这种现象的原因是什么，当时尚不清楚。这种现象，在今天看来，即是对偶现象。布里安昌当时对对偶原理尽管不大明确因而亦不太相信，但是他的上述定理的发现还是受对这种现象的模糊认识影响的。

在历史上，首先对对偶原理加以研究并将它作为一种研究数学的重要工具加以利用的，是法国的数学家J.V彭赛列。他在建立射影几何理论时做到了这一点，他将对偶现象出现的原因归结于极点和极线间的一种对应关系(特殊对射)，关于平面图形的定理在这种变换下保持它的真理性一即图形性质实际上是这种对应变换(配极)的一种不变量。他在1822年写的《论图形的射影性质》(在巴黎出版)和在1824年提交巴黎科学院的《衍合配极的一般理论》中，给出了极点和极线相互变换的一般表述，并以此建立了许多定理。不过，在这一时期，他利用配极来建立的对偶原理，是需要一个圆锥曲线来作中介的，也就是说这时的对偶原理还不具有像现在的一般形式。突破这种局限性的，是数学家吉尔岗尼，他坚决主张对偶原理是个普遍原理，适用于除涉及度量性质外的一切陈述和定理，极点和极线是不必要的中介支撑物。“对偶性”一词就是首先由他引进的。他将这一词用来表示一定理和由此变换(点、直线互换)出的新定理间的关系，而且为清晰起见，他还发明了将对偶定理写在原定理的旁边并排放置的做法。尽管吉尔岗尼摆脱了彭赛列对偶原理陈述的束缚，扩大了原理的应用范围，但是他的表述也是有缺陷的。

19世纪中叶以前，对偶原理从理论上被弄清了，但使用它的正确的逻辑基础当时还没明确。直到20世纪初公理化方法建立起来以后，人们才在从自对偶公理组的角度来建立射影几何体系的成功尝试中得到了这一原理的逻辑证明。由于对偶原理对射影几何的发展起了重大的推动作用，推动了数学家们对其在格论、一般布尔代数系统、布尔代数、集合代救、偏序集、范畴论等领域中应用的研究。

综上可知，对偶原理作为一种方法，经历了一个由提出、认识模糊到认识清楚及由一个领域扩展到多个领域甚至整个数学领域的过程。2

性质对偶原理是一座桥梁，借助于它，可以从数学某领域中的一定理走到另一定理(对偶定理)，当前一定理从逻辑上被证明后，后一定理的正确性是无须再证的。即对偶原理具有真的特点。

另一方面，对偶原理对于数学的发展具有很重要的促进作用，也就是说它在数学领域中具有实用价值，因而具有善的特点。

最后通过对对偶原理的具体分析，对偶原理刻画了数学理论的一种对称性，而对称具有美的特征，所以它也是一种具体的数学美学的方法。2

具体内容数学中的对偶原理

1.如果两个三角形的对应顶点的连线相会于一点，则这两个三角形的对应边的交点必定在同一直线上。

（如果两个三角形的对应边的交点在同一直线上，则这两个三角形的对应顶点的连线必定相会于一点。）

2.一个六边形的六个顶点在一条二次曲线上，当且仅当，该三对对边的交点在一条线上。

（一个六边形的六条边切一条二次曲线，当且仅当，联该三对顶点的线交于一点。）3

物理中的对偶原理

在电磁学中，均匀介质中的静电场与均匀导电媒质中的恒定电场有对偶关系，电位移矢量D与电流密度矢量J，电荷q与电流I对偶。电路中，电压源与电流源、短路与开路、串联与并联、电阻与电导、电容与电感，都存在对偶关系。在使用节点电压法和回路电流法时，不改变互为对偶的元件的值，将会得到形式完全一样的对偶方程，从而得到相同的一组解。

现代控制理论中的对偶原理

在自动控制论中，有时候需要研究系统的可控性和可观测性。利用对偶原理可以对研究系统方程带来很多方便。2

应用对偶原理在现代数学特别是几何学、代数学、拓扑学等学科中有着广泛的应用，对于推动数学的发展起着很好的作用。举例来讲，在范畴论中，借助于对偶变换(对偶化)，由始对象便可得终对象、由单态射得满态射、由核得上核、由积得上积；在同调代数中，由正向极限得反向极限、由内射模得投射模、由内射包得投射包、由投射分解(维数)得内射分解(维数)、由复形得上复形、由双复形得上双复形、由同调得上同调等。

除此之外，对偶原理在物理学中也有广泛的应用。例如，如果在导电媒质中的电流密度矢量与电介质中的电位移矢量处于相同的边界情况(边界形状、尺寸、相互位置及场源都相同)下，介质中的静电场与均匀导电媒质中的恒定电场具有相同的电场分布，即两者等位面的分布一致，且线与线的分布也一致。由于这两种场的对偶性，通过对偶量的代换，就可以直接由静电场的解得到恒定电场的解，节省了计算量。1