[科普中国]-非线性偏微分方程

|| ||

发展概况目前微分方程研究的主体是非线性微分方程，特别是非线性偏微分方程(NLPDE)。很多意义重大的自然科学和工程技术问题都可归结为非线性偏微分方程的研究。现实生活的许多领域内数学模型都可以用NLPDE来描述，很多重要的物理、力学等学科的基本方程本身就是NLPDE。另外，随着研究的深入，有些原先可用线性微分方程近似处理的问题，也必须考虑非线性的影响，所以对NLPDE的研究，特别是NLPDE求解精确解的研究工作就显示出了很重要的理论和应用价值，但是数学研究的结果，在目前还未能提供一种普遍有效的求精确解的方法.20世纪50年代以来，人们对非线性现象的研究中提出了“孤子”的概念，进而使得对NLPDE求解的研究成为非线性科学中的热点。

研究内容利用非线性偏微分方程描述上述问题充分考虑到空间、时间、时滞的影响，因而更能准确的反映实际。本方向主要研究非线性偏微分方程、H-半变分不等式、最优控制系统的微分方程理论及其在电力系统的应用。

1.非线性偏微分方程的研究：我们主要研究偏微分方程解的存在唯一性（和多解性）及稳定性；偏微分方程的初值问题、初边值问题的整体解（包括周期解和概周期解）的存在性及渐近性；平衡解的存在性，尤其是当问题依赖于某些参数时平衡解的分叉结构，以及平衡解的稳定性问题；非线性方程的数值解。

2．H－半变分不等式的研究：建立具有极大单调算子扰动的多值（S）型和伪单调型映象的广义度理论，广义不动点指标理论和具有非凸、不可微泛函的非线性发展型H－半变分不等式理论，由此来研究含间断项的非线性偏微分方程。

3．最优控制系统的微分方程理论及其在电力系统的应用：主要研究与电力生产有关的控制系统的理论和应用。首先提出了对Banach空间中抽象非线性发展方程所描述的最优控制系统的研究。引进非光滑分析，研究最优控制系统的微分方程，利用变分不等式理论研究多值问题、数值计算等，所获理论成果应用于电力系统的许多最优控制问题（如：电力系统励磁调节器传递函数的辨识、牛顿最优潮流的数学模型等）。

定义非线性偏微分方程(NLPDE)，又称非线性数学物理方程、非线性演化方程。它是描述现代诸多科学工程领域如物理化学、生物，大气空间科学等中的非线性现象的数学模型。

函数是一个广义的偏微分方程，如果 u，v 是此微分方程的两个解，而（au+bv) 也是此微分方程的解，则此偏微分方程则为线性偏微分方程，否则为非线性偏微分方程1。

求解方法精确求解非线性发展方程的工作具有重复性、固定的套路和规律、计算量大的特点，计算机代数的出现使人们摆脱了刻板、大量而重复的计算，提高了速度保证了准确率。年来在齐次平衡原则下又发展了多种求解非线性偏微分方程精确解的方法：像Tanh一函数法，Sine一Cosine方法，Jacobi椭圆函数展开法，Riccati方程方法及F一展开法等。这些方法一般都借助于计算机代数系统(Mathematica或Maple)，求解方便、直接，而且可以对解进行数值模拟以便于直观分析解的性质2。

逆算符法

该方法是收敛的，而且收敛速度相当快，能够得到精确解。

齐次平衡法

该方法将非线性发展方程的求解问题转化为纯代数运算。利用这种方法不仅可以得到方程的Backlund变换，而且能得到非线性偏微分方程的新解。

Jacobi椭圆函数方法

该方法此方法包含了双曲正切函数展开法。

辅助方程方法

F-展开法

双曲正切函数****展开法

常见的非线性偏微分方程

|| ||

应用研究方向1. 变分不等式理论与能量泛函的凸性密切相关，由于现代科学技术的需要，特别是研究自由边界和固体力学问题的需要，传统的方法往往都无法解决这类问题，人们对H-半变分不等式进行研究，研究涉及现代分析及应用、偏微分方程以及科学计算等众多领域中亟待解决和发展的重要课题。

2．该研究是现代数学与电力生产的交叉学科研究课题，它对电力生产及管理有着十分重要的理论指导意义和实际应用价值，为控制系统设计、分析和计算都可提供一些重要的理论依据。在应用数学学科的这一研究领域中本课题属于国内外前沿性研究工作。

突破1．深入研究空间、时间、时滞对解的性质的影响，诸如静态解、周期解的存在性、解的存在性、渐近性等问题；寻求它们在含间断项的非线性偏微分方程方面的突破。

2．寻求和发现新的处理非单调、非凸不可微能量泛函的方法（如建立Ishikawa迭代序列收敛准则），建立发展型方程G－收敛准则，寻求可行的光滑方法将算子方程光滑化，创建新的先验估计方法。

3．应用现代数学所获得的理论，研究最有控制系统的微分方程，为控制系统设计、分析和计算提供一些重要的理论依据和方法。