定义
随机游动亦称随机徘徊。一种最基本的整值随机过程。假定一质点在数轴的整点上做如下运动:每次质点以概率 p 向右 1 单位;以概率向左 1 单位,且各次运动相互独立。以
表示时刻 n 质点的位置,则过程
称为随机游动,由假设
表示质点的第 k 次位移,由假设 {
} 独立分布:
而对
,有
于是它是平稳独立增量过程,从而是离散时间时齐马尔可夫链,其一步转移概率为
若质点可以在整个数轴的整数点上游动,则称这种随机游动为无限制随机游动。若在某点D设有一个吸收壁,质点到达这点即被吸收而不再游动,因而整个游动也就结束了,这种随机游动称为在D点有吸收壁的随机游动,若P=Q=1/2,随机游动称为对称的。
随机环境中的随机游动[random walk in random environments]
设(V,E)是无穷的有向图,具有可数的顶点集 V 和边集。对任意
,定义它的邻域(neighborhood)
,
表示支撑为
的 V 上的概率测度全体。
中的元素称为在 v 点的转移律(transition law),是定义在 V 上的可测函数
满足如下条件:
在上赋予概率测度的弱拓扑使其为波兰空间(Polish space),进而诱导出
上的波兰结构,以F 表示Ω上的博雷尔σ代数。给定(Ω,F)上的一个概率测度P ,一个随机环境(random environment)就是取值在Ω中的一个随机变量ω,其分布为 P。
对任意,定义随机环境ω中对随机游动(random walk in random environment ω)为取值在 V 中的时齐马尔可夫链,其转移概率为
以表示满足初始条件
在
上诱导的概率,称为随机游动
的淬火概率(quenched law)。在
上定义为
在不引起混淆的情况下,也以记
在
上的边际分布,称
为随机游动
的退火概率(annealed law)。1