[科普中国]-一元二次方程

历史发展

公元前2000年左右，古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了。他们是这样描述的：已知一个数与它的倒数之和等于一个已给数，求出这个数。他们使x1+x2=b，x1x2=1，x2-bx+1=0，再做出解答。可见，古巴比伦人已知道一元二次方程的解法，但他们当时并不接受负数，所以负根是略而不提的。

古埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，例如：ax2=b。

大约公元前480年，中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根，但是并没有提出通用的求解方法。《九章算术》勾股章中的第二十题，是通过求相当于x²+34x-71000=0的正根而解决的。中国数学家还在方程的研究中应用了内插法。

公元前300年左右，古希腊的欧几里得（Euclid）（约前330年～前275年）提出了用一种更抽象的几何方法求解二次方程。

古希腊的丢番图（Diophantus）（246～330）在解一元二次方程的过程中，却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。

公元628年，印度的婆罗摩笈多（Brahmagupta）（约598～约660）出版了《婆罗摩修正体系》，得到了一元二次方程x²+px+q=0的一个求根公式。

公元820年，阿拉伯的阿尔·花剌子模（al-Khwārizmi）（780～810）出版了《代数学》。书中讨论到方程的解法，除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出了一元二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。他把方程的未知数叫做“根”，后被译成拉丁文radix。其中涉及到六种不同的形式，令a、b、c为正数，如ax2=bx、ax2=cx、ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c等。把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。

法国的韦达（1540～1603）除推出一元方程在复数范围内恒有解外，还给出了根与系数的关系。1

满足条件一元二次方程必须同时满足三个条件：

①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。

②只含有一个未知数；

③未知数项的最高次数是2。

方程形式一般形式ax²+bx+c=0(a≠0)

其中ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项；b是一次项系数；c是常数项。

使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。2

变形式ax²+bx=0(a、b是实数，a≠0);

ax²+c=0(a、c是实数，a≠0);

ax²=0(a是实数，a≠0)。

配方式

两根式

求解方法直接开平方法形如x²=p 或(nx+m)²=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二次方程。

如果方程化成x²=p的形式，那么可得 。

如果方程能化成(nx+m)²=p(p≥0)的形式，那么 ，进而得出方程的根。

注意：

①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。
②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。
③方法是根据平方根的意义开平方。3

配方法将一元二次方程配成(x+m)²=n的形式，再利用直接开平方法求解的方法。

用配方法解一元二次方程的步骤：

①把原方程化为一般形式；

②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。

配方法的理论依据是完全平方公式a²+b²±2ab=(a±b)²

配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。

举例

例一：用配方法解方程

解：将常数项移到方程右边

将二次项系数化为1：

方程两边都加上一次项系数一半的平方：

配方：

直接开平方得：

∴ , .

∴原方程的解为 , .4

求根公式法用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为：

①把方程化成一般形式 ，确定a，b，c的值（注意符号）；

②求出判别式 的值，判断根的情况；

③在 （注：此处△读“德尔塔”）的前提下，把a、b、c的值代入公式 进行计算，求出方程的根。

推导过程1

一元二次方程的求根公式导出过程如下：

（为了配方，两边各加 ）

（化简得）。

一元二次方程的求根公式在方程的系数为有理数、实数、复数或是任意数域中适用。

一元二次方程中的判别式:

应该理解为“如果存在的话，两个自乘后为的数当中任何一个”。在某些数域中，有些数值没有平方根。

推导过程2

一元二次方程的求根公式导出过程如下：

a的取值范围任意，c取值范围任意，。从abc 的取值来看可出1亿道方程以上，与因式分解相符合。

运用韦达定律验证：

因式分解法因式分解法即利用因式分解求出方程的解的方法。

因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

①移项，使方程的右边化为零；

②将方程的左边转化为两个一元一次方程的乘积；

③令每个因式分别为零

④括号中x，它们的解就都是原方程的解。

例：

或者

∴ ， .5

图像解法一元二次方程 的根的几何意义是二次函数 的图像（为一条抛物线）与x轴交点的X坐标。

当 时，则该函数与x轴相交（有两个交点）；

当时，则该函数与x轴相切（有且仅有一个交点）；

当 时则该函数与x轴相离（没有交点）。

另外一种解法是把一元二次方程 化为： 的形式。

则方程的根，就是函数 和 交点的X坐标。

通过作图，可以得到一元二次方程根的近似值。

计算机法在使用计算机解一元二次方程时，和人手工计算类似，大部分情况下也是根据下面的公式去解

可以进行符号运算的程序，比如软件Mathematica，可以给出根的解析表达式，而大部分程序则只会给出数值解（但亦有部分显示平方根及虚数）。

方程解含义（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解。一元二次方程的解也称为一元二次方程的根（只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根）。

（2）由代数基本定理，一元二次方程有且仅有两个根（重根按重数计算），根的情况由判别式（ ）决定。

判别式利用一元二次方程根的判别式（ ）可以判断方程的根的情况。

一元二次方程 的根与根的判别式 有如下关系：

①当 时，方程有两个不相等的实数根；

②当 时，方程有两个相等的实数根；

③当 时，方程无实数根，但有2个共轭复根。

上述结论反过来也成立。

韦达定理设一元二次方程 中，两根x₁、x₂有如下关系：

数学推导

由一元二次方程求根公式知

则有：