[科普中国]-正弦定理

定理内容

在任意△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R，直径为D。则有：

一个三角形中，各边和所对角的正弦之比相等，且该比值等于该三角形外接圆的直径（半径的2倍）长度。1

历史早在公元2世纪，正弦定理已为古希腊天文学家托勒密(C．Ptolemy)所知．中世纪阿拉伯著名天文学家阿尔·比鲁尼(al—Birunj，973一1048)也知道该定理[1]．但是，最早清楚地表述并证明该定理的是13世纪阿拉伯数学家和天文学家纳绥尔丁。在欧洲，犹太数学家热尔松在其《正弦、弦与弧》中陈述了该定理：“在一切三角形中，一条边与另一条边之比等于其对角的正弦之比”，但他没有给出清晰的证明。15世纪，德国数学家雷格蒙塔努斯在《论各种三角形》中给出了正弦定理，但简化了纳绥尔丁的证明。1571年，法国数学家韦达(F．Viete，1540一1603)在其《数学法则》中用新的方法证明了正弦定理，之后，德国数学家毕蒂克斯(B．Pitiscus，1561—1613)在其《三角学》中沿用韦达的方法来证明正弦定理2。

公式变形△ABC中，若角A，B，C所对的边为a，b，c，三角形外接圆半径为R，直径为D，正弦定理进行变形有

1. （齐次式化简）3

2. , ,

3.

4.（等比，不变）

5. （三角形面积公式）

定理意义正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。由正弦函数在区间上的单调性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。

一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。正弦定理是解三角形的重要工具。

在解三角形中，有以下的应用领域：

已知三角形的两角与一边，解三角形。

已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形。4

运用a:b:c=sinA:sinB:sinC解决角之间的转换关系。

定理证明外接圆证明正弦定理只需证明任意三角形内，任一角的边与它所对应的正弦之比值为该三角形外接圆直径即可。

现将△ABC，做其外接圆，设圆心为O。我们考虑∠C及其对边AB。设AB长度为c。

1.若∠C为直角，则AB就是⊙O的直径，即c= 2r。

∵ （特殊角正弦函数值）

∴

2.若∠C为锐角或钝角，过B作直径BC'交 ⊙O于C，连接C'A，显然BC'= 2r=R。

若∠C为锐角，则C'与C落于AB的同侧，

此时∠C'=∠C（同弧所对的圆周角相等）

∴在Rt△ABC'中有

若∠C为钝角，则C'与C落于AB的异侧，此时∠C'+∠C=180°，sin C'=sinC，亦可推出。

考虑同一个三角形内的三个角及三条边，同理，分别列式可得 。故对任意三角形，定理得证。5

向量证明若△ABC为锐角三角形,过点A作单位向量j⊥ ,则j与 的夹角为90°-∠A,j与的夹角为90°-∠C.由向量的加法原则可得

为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算,得到

∴|j| | | Cos90°+|j| | | Cos(90°-C)=|j| | |Cos(90°-A)

.∴asinC=csinA 即

同理,过点C作与 垂直的单位向量j,则j与 的夹角为90°+∠C,j与 的夹角为90°+∠B,

可得

若△ABC为钝角三角形,不妨设A>90°,过点A作与AB垂直的单位向量j,则j与AC的夹角为∠A-90°,j与CB的夹角为90°+∠B.同理

a·Cos(90°-B)=b·Cos(A-90°),

∴asinB=bsinA 即

过点C作与 垂直的单位向量j,则j与 的夹角为90°+∠C,j与 的夹角为90°+∠B,可得

综上，

解三角形判定是否多解应用

解三角形时，已知两角与一边，三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的；已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题。

一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况，可参考三角形性质、钝角三角形性质进行判断。若已知A、A的对边a、A与a的夹边C，则：6

对于钝角三角形，

若a≤b，则无解；

若a>b，则有一解；

对于锐角三角形，

若a