[科普中国]-齐次方程

定义一

1、所含各项关于未知数具有相同次数的方程,例如等。它们的左端,都是未知数的齐次函数或齐次多项式。2、右端为零的方程(组)亦称为齐次方程(组)，例如线性齐次(代数)方程组、齐次微分方程等。

定义二1、线性方程乘积的导数。 或 等等为线性方程当 时称为齐次方程。

2、如果一个一阶微分方程 中的函数 可写成 的函数，即 ，则这个方程是齐次方程。

释义“齐次”从词面上解释是“次数相等”的意思。

微分方程中有两个地方用到“齐次”的叫法：

1、形如 的方程称为“齐次方程”，这里是指方程中每一项关于x、y的次数都是相等的，例如 都算是二次项，而 算0次项，方程 中每一项都是0次项，所以是“齐次方程”。

2、形如 （其中p和q为关于x的函数）的方程称为“齐次线性方程”，这里“线性”是指方程中每一项关于未知函数y及其导数y',y'',……的次数都是相等的（都是一次），“齐次”是指方程中没有自由项（不包含y及其导数的项），方程 就不是“齐次”的，因为方程右边的项x不含y及y的导数，因而就要称为“非齐次线性方程”。

另外在线性代数里也有“齐次”的叫法，例如 称为二次齐式，即二次齐次式的意思，因为f中每一项都是关于x、y的二次项。

齐次方程的形式如果一阶微分方程

中的函数 可写成 的函数，即 ，则称这方程为齐次方程。例如

是齐次方程，因为其可化为

齐次方程的特点和解法（1）特点：方程中每一项的次方相同，且都可以化为一般形式 。

（2）解法：令 ，即 ，则 ，于是原方程可化为 ，即 ，成为可分离变量的微分方程，求解后再用 代替 即得原方程的通解。2

可化为齐次方程的微分方程形如方程

其中 为常数，且 .当 时，令 ，由

解出h与k，可将原方程化为齐次方程

当 时，即 ,可设 ，代入原方程后可化为可分离变量的微分方程，既有