[科普中国]-基础数学

简介

数学可以分成两大类：一类叫纯粹数学；一类叫应用数学。

数学的第一大类。它按照数学内部的需要，或未来可能的应用，对数学结构本身的内在规律进行研究，而并不要求同解决其他学科的实际问题有直接的联系。

数学的第二大类。它着重应用数学工具去解决工作、生活中的实际问题。在解决问题的过程中，所用的数学工具就是基础数学。

我们把从小学到大学所学的数学学科称之为基础数学。数学本就是基础学科，基础数学更是基础中的基础。它的研究领域宽泛，理论性强。主要是指几何、代数（包括数论）、拓扑、分析、方程学以及在此基础上发展起来的一些数学分支学科，具体的分支方向包括：射影微分几何、黎曼几何、整体微分几何、调和分析及其应用、小波分析、偏微分方程、应用微分方程、代数学等。

基础数学也叫纯粹数学，专门研究数学本身的内部规律。中小学课本里介绍的代数、几何、微积分、概率论知识，都属于纯粹数学。纯粹数学的一个显著特点，就是暂时撇开具体内容，以纯粹形式研究事物的数量关系和空间形式1。

发展开始形是容易感知的，我们一睁开眼睛就会看到各种各样形状的物体。数却是一个抽象的概念，但其形成也有很长历史了。据考证和研究，人类在洞穴时代就已有数的概念了，若干动物也有数的概念。刚开始时，实际的需要产生了加法、减法、乘法、除法等运算，长度、面积等概念。到公元前3000年，数学的应用范围就很广了，如税收、建筑、天文等。数学从理论上系统研究始于古希腊人，在公元前600年至公元前300年期间，代表人物有毕达哥拉斯、欧几里得等。欧几里得的《几何原理》采用公理化体系系统整理了古希腊人的数学成就，2000多年来一直是数学领域的教科书，其体系、数学理论的表述方式和书中体现的思维方式对数学乃至科学的发展影响深远。

数和多项式方程及相关的数学分支我们认识数学基本上都是从数开始的，然后是简单的几何与多项式方程。数中间有无穷的魅力、奥秘和神奇，始终吸引着最富智慧的数学家和业余爱好者。多项式方程是从实际问题和数的研究中自然产生的。在对数和多项式方程的认识和探究过程中，代数、数论、组合、代数几何等数学分支逐步产生。

素数

素数有无穷多个，在《几何原理》中有一个优美的证明。素数是数学永恒的研究对象，而且是最难以琢磨的数学研究对象，很多最为深刻的数学都与素数(或其复杂的其他形式如素理想等)有关。我们熟知的孪生素数猜想和哥德巴赫猜想，到现在仍未解决，目前最好的结果是陈景润的。但奇数哥德巴赫猜想由维诺格拉多夫于1937年基本解决。哈代一利特伍德猜想是比孪生素数猜想更为复杂的猜想。

对于素数在自然数中的比例，有著名的素数定理，曾是勒让德的猜想(1808年)，阿达玛和德拉瓦勒一普森最先分别证明该定理(1896年)。1949年赛尔伯格和厄尔迪斯分别给出素数定理的初等证明。这是赛尔伯格获1950年菲尔兹奖的重要工作之一。2004年陶哲轩和本·格林合作证明了存在任意长的等差素数数列。这项工作极大地激发了人们对解析数论的新热情，也是陶获2006年菲尔兹奖的重要工作之一。

多项式方程和代数几何

我们已经看到解方程，哪怕是一个一元的或简单的二元方程，都不是容易的事情，其研究给数学已经而且还要带来巨大的发展。多项式方程组的求解显然更为困难，甚至一般说来是毫无希望的。我们需要换一个角度，把一组多项式方程的零点集看作一个整体，就会得到一个几何空间，称为簇。研究簇的数学分支就是代数几何，一个庞大深刻又极富活力的分支。代数几何的踪迹可以追溯到公元前，17世纪笛卡尔建立的解析几何可以看作是代数几何的先声。

代数几何的中心问题是对代数簇分类。但这个问题太大太难，现阶段尚无希望完全解决，人们只能从不同的角度考虑更弱的问题。一维的情形是代数曲线，其分类很容易，在19世纪就知道光滑的射影曲线可以用它们的亏格来分类，这时还有著名的黎曼一洛赫定理。大约在1885—1935年期间，代数几何史上著名的意大利学派对二维的情形研究了分类，也得到了二维隋形的黎曼一洛赫定理。意大利学派的特点是几何直观思想丰富深刻，后期的工作严格性不足。后来，上个世纪四五十年代韦伊和查里斯基用新的语言严格表述代数几何的基础。小平邦彦和沙法列维奇及其学生在上个世纪60年代重新整理了代数曲面的分类。小平在代数几何和复流形上的工作十分有影响，早在1954年，他就获得菲尔兹奖，沙法列维奇在代数数论和代数几何上都做出重要的贡献，有著名的沙法列维奇猜想，至今未解决。

曼福德和庞比利在上个世纪六七十年代把意大利学派对曲面的分类工作做到了特征p域上。曼福德在代数几何方面的贡献是多方面的，构造了给定亏格的曲线的模空间、几何不变量的研究等，因为这些贡献，他于1974年获菲尔兹奖。庞比利则因其在解析数论、代数几何和分析数学上的杰出工作于1974年获菲尔兹奖。三维情形的分类直到上个世纪80年代才由日本数学家森重文完成，他因此于1990年获菲尔兹奖。如何把这些分类的工作推广到高维的情形是非常活跃的研究方向。

一元高次方程和群论

人们很早就会解一元一次和一元二次方程，一元三次和四次方程的公式解在16世纪被找到。在尝试得到更高次方程的根式解时，数学家的探索失败了，其中包括18世纪一流数学家拉格朗日。答案原来是否定：1824年挪威数学家阿贝尔证明了五次及更高次的方程一般没有根式解。稍后法国数学家伽罗华给出的证明影响深远，一个重要的数学分支，群论因此而诞生。我们可以简单说一下伽罗华的证明。5个人排队的排法有120种，一种排法按另一种方法重排就会产生第三种排法，于是这120种排法成为一个群，而且是不可解的，所以五次及更高次的方程一般没有根式解。

群论的影响几乎遍及整个数学，在物理、化学及材料科学中有很多应用，是研究对称的基本工具。1872年克莱因提出著名的埃尔朗根纲领，用群来分类和刻画几何，对几何发展影响巨大。拓扑学中同调群和同伦群是极重要的研究工具和研究对象。代数几何中阿贝尔簇是一类特别重要的几何对象。很多空间具有一些自然的群作用，从而可以作相应的商空间。这些商空间在几何、数论和表示论中极其重要。齐性空间和志村簇是其中两类例子，几何不变量则是一个有关的重要数学分支。群论自身的研究同样是非常深刻的。上世纪一项伟大的数学成就是对有限单群的分类。这是一项庞大的工作，第一个证明主要的工作发表于1960—1983年期间，前后有100多位数学家参与，发表了数百篇论文，总长度超过10000页。到2004年，群论专家完成第二个证明，总长度也达到5 000页。现在，他们正试图进一步简化。汤普森因其在单群分类中的杰出工作于1974年获菲尔兹奖。

形与几何、拓扑最简单的形无疑是线段、直线、多边形、多面体、圆、球、椭圆、抛物线、双曲线等，它们也是几何与拓扑的起点，人类很早就研究它们了。我们做一个简单的游戏：多边形的顶点的个数等于边的个数，多面体的面的个数加上顶点的个数等于棱的个数加2。后一个等式称为欧拉公式，虽然并不是欧拉最早发现的。这些公式被认为是拓扑学的起源。拓扑学研究几何空间的整体性质，就是说那些在连续变形下不变的性质，是数学的主流分支，在数学的其他分支和物理中的应用极其广泛，有时是研究一些问题必不可少的工具，如广义相对论中的一般性的时空奇点定理就是彭罗斯把拓扑学引入广义相对论而证明的。

如果把多面体的棱角磨平，再整理一下，我们就得到球了。欧拉公式本质上是说球面的欧拉示性数等于2。一个几何空间的欧拉示性数是通过空间的同调群定义的。球面当然是一个光滑的曲面。对于一般的光滑曲面，有高斯一伯内特公式，它把欧拉示性数和曲面的曲率联系起来，从而把微分几何与拓扑联系起来，非常深刻，对以后数学的发展影响很大。上世纪40年代，阿冷多尔费尔和韦伊把它推广到高维的情形。陈省身对高维情形的高斯一伯内特公式的证明则是整体微分几何的一个开端，影响深远。

球面带来的深刻数学还很多。1956年，米尔诺发现七维球面上有非标准的微分结构。这一发现对拓扑学的发展影响很大，是米尔诺最有名的工作，也是他1962年获菲尔兹奖的主要工作之一。六维球面是否有复结构则是困扰数学家很多年的一个问题，至今未解决。球面的同伦群也是拓扑学研究的重要问题，至今未完全解决。上世纪50年代初，塞尔成功计算了球面的很多同伦群，这是他获1954年菲尔兹奖的重要工作之一。同伦群现在仍是拓扑学研究的一个主要方向。

在几何与拓扑中，一个基本问题是对流形分类。流形有各种各样的，如拓扑流形、微分流形、复流形、黎曼流形、辛流形、无穷维流形，等等，这里面的问题和结果都是非常丰富的。闭二维拓扑流形是曲面，其分类很早就知道，结果很漂亮：同构类由曲面的亏格完全确定。曲面的亏格就是曲面所围的空洞的个数，如汽车轮胎是亏格为一的曲面，它只围了一个空洞。三维流形的研究中，瑟斯顿的工作非常重要，他发现双曲几何在三维流形的研究中起突出的作用。瑟斯顿提出的几何化猜想是比庞加莱三维球面猜想更广泛的猜想，后与庞加莱猜想一起得到证明。瑟斯顿因其在三维流形上的开创性工作获得1982年的菲尔兹奖。

线、面积、速度等和微积分、分析数学我们会求一些简单图形如多边形、圆等的面积，也会求圆的切线，但对更复杂的图形，这就不是一件容易的事情了。在物理中，对于非匀速运动，求加速度和路程同样不是一件容易的事情。对这些问题的探索最后导致牛顿和莱布尼兹在17世纪分别独立建立了微积分。用微积分我们能轻易求出一些复杂图形的面积、体积，确定物体的加速度、路程的精确值等等。微积分及在其上发展起来的分析数学成为认识和探索世界奥秘最有力的数学工具之一，为数学带来全面的大发展，促进了很多新分支的产生如解析数论、实分析、复分析、调和分析、微分几何、微分方程等等。

微积分的基本概念有极限、微分和积分，分析数学的基本研究对象是函数。1927年物理学家狄拉克在研究量子力学时引进了一个函数，它不是经典意义下的函数，给当时的数学家带来很大的困惑。许瓦茨建立的分布理论使得函数变得容易理解并能严格处理，他因此获1950年的菲尔兹奖。分布理论在现代偏微分方程理论中极其重要。

正弦函数和余弦函数都是周期函数。傅立叶认为它们是描述周期运动的基本函数并在19世纪初建立了相应的理论，现称为傅立叶分析。傅立叶分析及其更一般的理论调和分析是内容非常丰富且应用很广泛的数学分支。如果注意到正弦和余弦函数可以看作圆周上的函数并把单位圆周与模长为一的复数等同起来，就知道傅立叶分析与李群表示论是密切相关的。卡尔松因其在调和分析上的重要工作于1992年获沃尔夫奖，特别是他理清了函数与其傅立叶级数表示的关系。陶哲轩在调和分析上的工作也是他获菲尔兹奖的工作的一部分。李群和拓扑群上的调和分析是一个重要的分支，与泛函分析密切相关，在数论中的深刻应用使人惊叹。

大自然很多的奥秘是通过微分方程表述的，描写电磁运动的麦克斯韦方程，描写微观世界的薛定谔方程，描写流体运动的纳维尔一斯托克斯方程，描写宏观世界的爱因斯坦方程等等。这些方程都是非线性微分方程，有很多人研究，纳维尔一斯托克斯方程是否有整体光滑解则是克雷数学研究所的千禧年问题之一。

在线性偏微分方程上，赫曼德的工作可能是最深刻和突出的，他因此获得1962年的菲尔兹奖。P．L．里翁斯在非线性方程上的杰出工作使他获得了1994年的菲尔兹奖。丘成桐发展一些强有力的偏微分方程技巧用以解决微分几何的一些重要问题如卡拉比猜想等，在这些工作的基础上，几何分析逐步发展起来。因为这些工作，丘获得1982年的菲尔兹奖，另外，他的工作在理论物理和数学物理中有极大的影响。偏微分方程领域引人入胜的深刻问题比比皆是，一流的数学家很多，如拉克斯、卡发热利等等。

常微分方程解的定性研究与动力系统密切相关。太阳系的运动是一个动力系统(运动和力之间关系的系统)，由万有引力决定，所以是一个常微分方程的动力系统，庞加莱对太阳系和三体问题的研究是动力系统史上非常重要的工作。动力系统是很活跃的研究领域，其中一个研究方向是复动力系统，研究函数的迭代。约科兹因其在动力系统的杰出工作获1994年菲尔兹奖。曼克木棱在复动力系统方面的重要工作是他获1998年菲尔兹奖的原因之一。部分因其在动力系统方面的重要工作，斯米尔诺夫获得2010年菲尔兹奖。研究有不变测度的动力系统的分支称为遍历论，与调和分析、李群及其表示、代数群、数论有密切的联系。林德施特劳斯因其在遍历论中的出色工作获得2010年的菲尔兹奖，另外马古利斯获1978年菲尔兹奖的工作中遍历论起了重要的作用2。

应用基础数学知识在经济中的应用是源于市场经济的发展，随着我国市场经济的不断发展，用数学知识来定量分析经济领域中的种种问题，已成为经济学理论中一个重要的组成部分。根据分析人士的计算，从1969 年到 1998 年近 30 年间，就有19 位诺贝尔经济学奖的获得者是以数学作为研究的主要的方法，而这些人占了诺贝尔经济学奖获奖总人数的 63.3%。其原因主要是“数学”在经济理论的分析中有着尤为重要的作用，其主要作用有以下几点：

1、运用精炼的数学语言陈述经济学研究中的假设前提条件，使人一目了然。

2、运用数学思维推理论证经济学研究的主要观点，使条理更加清晰，逻辑性更强。

3、运用大量的统计数据让论证得出的结论更具有说服力。

具体运用举例经济学中的函数

“函数”是现代数学最为基本的概念之一，是现实世界中量与量之间的依存关系在数学中的完美映衬，也是经济数学的主要研究对象。现实世界中一切事物都在一定的空间运动着，对种种不同量的假设与推测，是许多科学理论的中心问题。在经济分析中，对成本、价格、收益等经济量的关系研究，就要用到基础数学方法，来构建该问题的数学模型，找出该问题的函数关系。常用的经济函数有：单利与复利、多次付息、贴现、需求函数、供给函数、成本函数、收入函数、利润函数等等。

经济学中的导数

“导数”是函数的改变量与自变量的改变量之比，在自变量改变量趋于零时的极限。它是纯粹从数量方面来刻画变化率的本质的，反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。在经济问题中，经常会用到变化率的概念，而变化率又分为平均变化率和瞬时变化率。平均变化率就是函数增量与自变量增量之比，就像我们经常用到的年产量的平均变化率、成本的平均变化率、利润的平均变化率等等。而瞬时变化率就是函数对自变量的导数，即当自变量增量趋于零时平均变化率的极限，在经济学中被称为边际函数。经济学中常见的边际函数有：边际成本、边际收益、边际利润、边际需求等等。

对于商家来说，进行边际分析和弹性分析是非常必要的，商家如果离开边际分析而盲目生产，就会造成资源的极大浪费；商家如果离开需求与价格的弹性分析，就不可能达到利润的最大化。这时候就要用到导数，因为导数是边际分析和弹性分析的最有力的工具，可以给决策者提供客观的、精确的数据，进而做出比较合理的决策。

经济学中的最值

在经济问题中，我们经常会遇到这样的问题，怎样才能使“产品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效益最高”等等。这样的问题在数学中有时会归结为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题。例如：在分析收入最大化与利润最大化的过程中，假定价格不变的情况下，产量最大就会形成收入最大的局面，但是，收入最大时的产量不一定产生最大的利润。而产量为多少时才能取得最大利润，就需要运用导数的知识来解决问题。利用导数解决最值问题的步骤是：求一阶导数，找出可能取得最值的点（包括驻点、一阶导数不可导的点和区间端点），再计算各点的函数值，对其进行比较，哪个最大就是最大值哪个最小就是最小值。经济学中常见的最值问题有：最大利润问题、最大收益问题、经济批量问题和最大税收问题等等。

经济学中的微分方程

为了研究经济变量之间的联系及其内在的规律，常常需要建立某一经济函数和经济变量的导数所满足的关系式，由此而确定所研究的函数关系，从而根据一些已知的条件来确定该函数的表达式。以上一套套路，从数学上说，就是建立微分方程并求解微分方程。具体步骤如下：在相关的背景知识下，用数学知识来描述经济问题中的变量和参数之间的关系，从而建立微分方程；根据具体问题适当的调整假设使建立的微分方程，尽可能地使其接近实际，这样可以相对的减小误差；运用已知的条件和测量的数据，对所建的微分方程中的参数给出相应的估计值；继而分析比较方程中的结果与实际观测之间的差异，若结果与实际情况基本一致，说明建立的微分方程符合实际问题，接下来就可以将它应用于对实际问题的进一步分析或者预测中；如果微分方程结果与实际观测不一致，就需要重新检查方程在哪出现了问题，以便对方程进行调整修正，再重复前面的过程直到建立出一个经检验符合实际问题的微分方程为止。微分方程在经济学中的实际应用主要有：分析商品的市场价格与需求量（供给量）之间的函数关系、预测商品的销售量、进行成本分析、净资产分析、国民收入与储蓄、投资的关系分析等等。

局基础数学是分析问题解决问题的一种方法，也是一个计算工具，它可以把实际问题抽象化。而经济学重要的是经济思想。基础数学只有在经济理论的合理框架下去研究分析问题才能发挥它的实用性。因此，基础数学在经济学中的应用要时刻注意以下几点：

1、经济学不仅仅是数学概念和数学方法的简单叠加，不能把经济学中的数字随意的数学化，在分析问题、解决问题的时候要充分考虑到经济学作为社会科学的一个分支，会受到多方面的影响（如制度、法律、道德、历史、社会、文化等等）。

2、 经济理论的发展要有自己独立的研究角度，只有从经济学的本质出发，分析、研究现实生活中的经济规律，才能得到较为准确的结论。在此基础上，在一定条件的假设基础上，辅之以适合的数学方法和数学运算，才能解决实际生活中出现的一些经济问题。

3、运用数学知识分析研究经济学中出现的问题不是唯一的道路，数学知识也不是万能的，它只是研究经济问题的工具之一。要根据具体的问题，灵活地与其他学科（如物理学、医学、生物学等领域）相结合，不要过分地依赖数学，否则会导致经济问题研究的单一化，从而不利于经济学的发展3。