[科普中国]-伯努利双纽线

简介

伯努利双纽线，也称双纽线，关于它的描述首见于 1694 年，雅各布· 伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理。设定线段 长度为2a，若动点M满足 ，那么M的轨迹称为伯努利双纽线。双纽线可通过等轴双曲线经过反演得到，即它是双曲线关于圆心在双曲线中心的圆的反演图形。伯努利双纽线是卡西尼卵形线和正弦螺线等曲线的特殊情况，这就意味着伯努利双纽线在沟通各曲线研究上起到了重要的作用， 因此对于伯努利双曲线的探讨显得尤为重要和迫切。双纽线在数学曲线领域的地位占有至关重要的地位， 对于伯努利双纽线的研究有助于我们更好地研究其他相关曲线，达到触类旁通的效果。 伯努利双纽线在轻工业和科技方面都得到广泛而恰到好处的应用，因此，对于伯努利双纽线的研究是很有现实意义的。

双纽线是函数图形，不仅体现了数学美的对称、和谐、抽象、简洁、精确、统一、奇异、突变，同时也具有特殊的有价值的艺术美，是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素。双纽线函数图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”，在中国8是个简单的数字，但是现代人却给了它更丰富的意思。在南方那是发财的意思，因为和汉字“发”谐音。通过双纽线的外延和内涵，在不对其变形的基础上，对双纽线函数图形进行可用图式的概括，在此基础上可以创作出许多优秀的艺术作品1。

伯努利双纽线方程如图1所示为一双纽线图形。

在数学中，对于长度为2a的定线段 ，双纽线在平面直角坐标系下的方程为 ：

伯努利双纽线在极坐标中也有简洁的表示 ：

在双极坐标系，伯努利双纽线的方程也类似：

伯努利双纽线的性质（1）在笛卡尔坐标系中，伯努利双纽线关于坐标原点对称，坐标原点是具有切线 y=±x 的结点和拐点。从伯努利双纽线上任何一点 M到给定的两点 的距离之积，等于 之间的距离的平方。曲线的形状类似于打横的阿拉伯数字 8 或者无穷大的符号 。

（2）伯努利双纽线的曲率在直角坐标系中可以表示为：

（3）伯努利双纽线的曲率半径为：

（4）伯努利双纽线每个回线围成的面积为：

应用（1）在纺织中的应用： 伯努利双纽线在纺织中作为花纹得到广泛应用， 用双纽线编织的布料外形美观，结构紧密，具有重复性和渐变性。

（2）在增压器中的应用： 伯努利双纽线无撞击双进气拓宽流量增压器在工业中得到广泛应用。

（3）在赌博术中的应用：在雅各布·伯努利的《猜度术》一书中，将伯努利双纽线广泛应用到赌博术中。

双纽线函数图形在纺织中的可用图式重复型重复构图是同一形象以类同方式多次出现，利用大自然和人类生活中的重复现象，从中产生快意和秩序感。自然界中固有的和人工造成的重复很多，如双生子；永不休止的海浪拍岸；体育比赛中录像重放；建筑中门、窗和柱饰的重复；层层梯田等。

如图2所示，运用重复构图对双纽线函数图形进行重复构图，可在纺织品中用作花边或底纹进行修饰，从而增加趣味和美感。

渐次型渐次就是连续出现的群体形象的变化。表现出同方向的递增和递减，具有一定的规律性，比如：向水中投石所形成的水环；公路上电线杆由于透视关系所产生的渐次；中国古塔建筑中每一层相同的飞檐的递减关系等。每一次的渐次变化不能太大，太大了不是渐次，太小了又形成了重复，关键在一个“递”字。在构图中各种形象关系由上——下、多——少、大——小、强——弱的渐次均可入画，黑——白、实——虚、冷——暖的渐次均可入画。

渐次型构图方式在现代纺织中运用的越来越多，视觉上容易给人秩序的美感，运用双纽线函数图形进行渐变构图，能在众多纺织品中突显。如图3所示。

对称型轴的两边或周围的形象对应等同。对称构图分整体对称和局部对称。整体对称指大形骨架对称，局部对称指一些细节对称。要注意对称的微妙变化，如形象的对称置换，方位颠倒，体量的调整等。在纺织品中，对称型的构图非常普遍。如图4，双纽线函数图形本身就具有对称的美感，在其本身就可做出对称的多种形式，适用于纺织品中。

重叠型形体与形体之间的重叠，有时形成一个新的重合形象，有时是互不影响的两个或两个以上的形象同在一个构图中透叠存在。重叠后可理解为上下、前后的关系。重叠不能没有，否则没有层次。但不能太多，重叠太多，遮遮掩掩就会使形象和结构混乱而不清晰。当大面积重叠形象轮廓和结构不清晰时，也可采用“透叠”处理，透叠手法即形象与形象之间互相透明重叠，形成新的装饰图形。透叠效果可打破大面积黑影而造成的沉闷，增加黑白或色彩层次，活跃画面气氛。如图5，通过对双纽线函数图形进行旋转式重叠，构成一个花式图形，在纺织品中能增加其视觉效果。

发射型发射是一种特殊的重复，是双纽线函数图形环绕一个或多个中心点向外散开或向内集中。自然界盛开的花朵就属于发射的形状。另外，发射也可以说是一种特殊的渐变。它同渐变一样，双纽线函数图形要作有序的变化。但是，发射有两个显著的特征：

（1）发射具有很强的聚焦，这个焦点通常位于画面的中央；

（2）发射有一种深邃的空间感，光学的动感，使所有的图形向中心集中或者由中心向四周扩散。

如图6，是由双纽线函数图形组合成发射型图式，这种类型图式在民族纺织的运用较多，其视觉冲击力强1。