[科普中国]-不等边三角形

三角形

三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。

常见的三角形按边分有不等边三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。

若一个三角形的三边分别为a、b、c，则周长 。

面积公式为 （面积=底×高÷2。其中，a是三角形的底，h是底所对应的高）注释：三边均可为底，应理解为：三边与之对应的高的积的一半是三角形的面积。这是面积法求线段长度的基础。1

定义三条边都不相等的三角形叫不等边三角形。

若干“心”的一个性质不等边三角形的内心I、垂心H、界心K及其旁心三角形的外心M是平行四边形的四个顶点。

为了证明上述性质，先说明几个引理。

引理1：△ ABC中AD、BE、CF为三边上的高,垂心为H，则该三角形三边之中点，三个垂足D、E、F，三线段HA、HB、HC之中点九点共圆，且线段HA、BC之中点连线线段的中点是九点圆圆心。

引理2：设△ ABC外心为O、垂心为H、则线段OH之中点是九点圆圆心。

引理3：△ ABC的内心是其旁心三角形的垂心。

引理4：设不等边△ ABC的外心为O、垂心为H、内心为I、界心为K。则OI平行且等于二分之一的KH。
性质证明：

设不等边△ ABC的旁心三角形为△ DEF(如图)，O、I、H、K分别为△ ABC外心、内心、垂心、界心。由引理4，OI平行且等于二分之一的KH；由引理3及其证明过程知，△ ABC内心I为旁心△ DEF的垂心，且直线DIB⊥EF，直线EIA⊥ DF，直线FIC⊥ DE，又由引理1知，△ DEF九点圆圆心为△ ABC外心O；设△ DEF外心为M，由引理2，有△ DEF外心M与垂心I的连线线段中点应为△ DEF九点圆圆心O，故M、O、I共线且MO = OI。由OI平行且等于二分之一的 KH，有MI平行且等于KH，即四边形MIHK为平行四边形。故△ ABC的内心I、垂心H、界心K及旁心三角形的外心M构成平行四边形的四个顶点。命题得证。2

等边三角形定义等边三角形（又称正三边形），为三边相等的三角形，其三个内角相等，均为60°，它是锐角三角形的一种。等边三角形也是最稳定的结构。等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形拥有等腰三角形的一切性质。

尺规做法第一种：可以利用尺规作图的方式画出正三角形，其作法相当简单：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度决定等边三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一正三角形。

第二种：在平面内作一条射线AC，以A为固定端点在射线AC上截取线段AB=等边三角形边长，然后保持圆规跨度分别以A,B为端在AB同侧点作弧，两弧交点D即为所求作的三角形的第三个顶点。3