[科普中国]-代数函数

代数函数

代数函数是指一类完全解析函数。指由不可约方程：2

确定的多值函数，其中aj(z)(j=0，1，…，n)是z的多项式。从这个w的代数方程可知对每一个z值确定多个w值，因此w=w(z)是一多值函数。代数函数是在扩充的复平面C^上仅具有有限多个代数支点和极点的完全解析函数；反之，具有上述特征的完全解析函数，必满足一不可约代数方程，且除去一个非零常数因子外此方程是惟一的。相应于代数函数的黎曼曲面是紧致的，即闭曲面。此曲面的亏格即定义为代数函数的亏格。由方程(1)联系着的z和w的有理函数R(z，w)之积分：

称为阿贝尔积分，其中w(z)的值是由z0点选定的分支沿积分路径解析开拓而得。它是一多值函数，其多值性不仅产生于R(z，w)的残数，w(z)的多值性，而且还依赖于w(z)相应的黎曼曲面的拓扑性质。对于这个积分人们常寻找一系列标准形式，使得任一这类型的积分能通过适当的变数变换变为其中一个标准形式。

关于阿贝尔积分的研究导致代数函数的单值化问题，代数函数单值化又引起一般单值化理论的发展。在这方面，从19世纪下半期到20世纪的最初十年，世界上许多著名数学家如黎曼(Riemann，G.F.B.)、克莱因(Klein，(C.)F.)、庞加莱(Poincaré，J.-H.)、施瓦兹(Schwarz，H.A.)、诺伊曼(Neumann，C.G.)和克贝(Koebe，P.)等人都做出了重要贡献。3

发展历史以复数为系数的二元不可约多项式构成的方程P(z，w)=0所确定的(多值)解析函数w=w(z)，被称为代数函数。代数函数论开始于19世纪初高斯、阿贝尔和雅可比等人关于椭圆函数的研究，随着黎曼、外尔斯特拉斯关于函数论基础的确立，它就形成了完整的理论。历史上，代数函数论沿着三个不同的方向发展起来。方程P(z，w)=0确定了以z，w为坐标的二维复射影空间中的曲线，从这个角度来研究的，开始于黎曼、克莱布什、哥尔丹等人，经过布里尔、M.诺特和意大利学派的塞韦里、塞格雷等人的工作，已与现代的代数几何联系起来。这时代数函数被视为代数簇上的有理函数，因此用代数几何的方法来研究。把代数函数作为黎曼面上的函数(视为黎曼面和复流形上的亚纯函数)来研究的所谓“解析方法”是黎曼、阿贝尔和外尔斯特拉斯的基本思想，它由C.F.克莱因、希尔伯特所继承，进一步由外尔整理成完美而严密的形式。通过代数函数域来研究代数函数的纯代数方法，开始于19世纪末戴德金和韦伯的研究，随着20世纪早期抽象代数的发展，这个方向取得了包括一般系数域和复变量代数函数理论在内的许多结果。人们还特别认识到代数函数论与数论之间的类似之处，因而代数函数论的研究也促进了数论的发展。以上三种不同的观点，最初不仅表现在它们所采用的方法和表达方式的不同，而且它们所使用的术语也不同。然而，随着时间的推移，人们发现，随着代数方法的发展，许多首先用函数论和几何方法得到的结果，如果利用这些方法的代数类似物，则往往可以成功地应用于更一般的域的情形，因此这些差异已变得无关紧要。

应用20世纪中后期，随着计算机科学技术的迅猛发展，多元多项式的因式分解被认为是符号计算领域的起源。多元多项式的因式分解是代数学中基本的内容之一，也是数学研究的重要内容之一，它不仅是数学学科中相当困难的问题之一还是符号计算中最基本的算法。在现代计算机代数系统中，代数代数函数域上的多项式因式分解计算有着非常重要的地位。目前，代数数域上多项式的因式分解的研究已相对完善，无论是在算法的实现上还是算法的高效性上都便于操作，因此前人提出的许多的代数数域上的因式分解算法都得到了广泛的应用，如Barry M.Trager在1976年提出的算法，然而随着数学研究的不断深入，对于代数函数域上的因式分解就显得不那么容易了，它不仅运算量庞大而且在算法的具体操作上也比较的复杂。因此，探究代数函数域上多元多项式的因式分解算法不仅具有理论上的意义，还具有很重要的应用价值。4

解析函数亦称全纯函数或正则函数，是解析函数论的主要研究对象。对于定义于复平面上区域D内的复变量z的单值函数f(z)，如果它在D内的每个点z0的一个邻域内都可以用z-z0的幂级数表示，则称f(z)在D内解析。外尔斯特拉斯(Weierstrass，K.(T.W.))从幂级数出发，建立了解析函数的级数理论.如果在D内的每个点z处，极限：

(称为函数f(z)在z点的导数)都存在，柯西(Cauchy，A.-L.)称f(z)在D内是解析的。这两个定义是等价的。函数f(z)=u(x，y)+iv(x，y)，z=x+iy在D内解析的另一个等价条件是：u=u(x，y)，v=v(x，y)在D内的每一个点z=x+iy处存在连续偏导数，并且满足柯西-黎曼方程(或称柯西-黎曼条件)：

这个条件有时简称C-R条件或称达朗贝尔-欧拉条件。函数f(z)在区域D内解析的第四个等价条件是莫雷拉定理。

解析函数是指能局部展成幂级数的函数，它是复变函数论研究的主要对象。解析函数类包括了数学及其在自然科学和技术应用中所遇到的大多数函数，这类函数关于算术、代数和分析的各种基本运算是封闭的，解析函数在其自然存在的域中代表唯一的一个函数，因此，对解析函数的研究具有特殊的重要性。

对解析函数的系统研究开始于18世纪。欧拉在这方面做出许多贡献。拉格朗日最早希望建立系统的解析函数理论，他曾试图利用幂级数的工具来发展这种理论，但未获成功。

法国数学家柯西以他自己的工作被公认为是解析函数理论的奠基者。1814年他定义正则函数为导数存在且连续，他批判了过去许多错误的结果，创立了若干法则，以保证级数运算的可靠性。1825年他得到了著名的柯西积分定理，随后又建立了柯西积分公式。柯西利用这些工具得到了正则函数在它的定义域内处处可表为收敛的幂级数的结果，其逆命题亦真。所以解析和正则是等价的。后来黎曼对柯西的工作做出了重要的发展。1900年，法国数学家古尔萨改善了正则函数的定义，只要求函数在定义域中处处有导数。

外尔斯特拉斯以幂级数为出发点开展对解析函数的研究。他定义正则函数为可以展开为幂级数的函数，创立了解析开拓理论，并利用解析开拓定义完全解析函数。柯西的方法限于研究完全解析函数的所谓单值分支，必须通过解析开拓才能和外尔斯特拉斯的理论统一起来。5