[科普中国]-立体几何

基本课题课题内容

包括：

- 面和线的重合

- 二面角和立体角

- 方块，长方体，平行六面体

- 四面体和其他棱锥

- 棱柱

- 八面体，十二面体，二十面体

- 圆锥，圆柱

- 球

- 其他二次曲面：回转椭球，椭球，抛物面 ，双曲面

公理：

立体几何中有4个公理

公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

公理4 平行于同一条直线的两条直线平行。

常见立体图形表面积和体积一览表

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注：初学者会认为立体几何很难，但只要打好基础，立体几何将会变得很容易。学好立体几何最关键的就是建立起立体模型，把立体转换为平面，运用平面知识来解决问题，立体几何在高考中肯定会出现一道大题，所以学好立体是非常关键的。1

三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面的射影垂直。

1、三垂线定理描述的是PO(斜线)，AO(射影)，a(直线)之间的垂直关系。

2、a与PO可以相交，也可以异面。

3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。

关于三垂线定理的应用，关键是找出平面(基准面)的垂线。至于射影则是由垂足，斜足来确定的，因而是第二位的。从三垂线定理的证明得到证明a⊥b的一个程序：一垂，二射，三证。即

第一，找平面(基准面)及平面垂线；

第二，找射影线，这时a，b便成平面上的一条直线与一条斜线；

第三，证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b垂直。

注：

1.定理中四条线均针对同一平面而言；

2.应用定理关键是找"基准面"这个参照系。1

用向量证明三垂线定理。

1.已知：PO，PA分别是平面a的垂线，斜线，OA是PA在a内的射影，b属于a，且b垂直OA，求证：b垂直PA

证明：因为PO垂直a，所以PO垂直b，又因为OA垂直b 向量PA=（向量PO+向量OA）

所以向量PA乘以b=（向量PO+向量OA）乘以b=（向量PO 乘以 b） 加 （向量OA 乘以 b ）=O，

所以PA垂直b。

2.已知：PO，PA分别是平面a的垂线，斜线，OA是PA在a内的射影，b属于a，且b垂直PA，求证：b垂直OA

证明：因为PO垂直a，所以PO垂直b，又因为PA垂直b， 向量OA=（向量PA-向量PO）

所以向量OA乘以b==（向量PA-向量PO）乘以b=（向量PA 乘以 b ）减 （向量PO 乘以 b ）=0，

所以OA垂直b。

3.已知三个平面OAB，OBC，OAC相交于一点O，角AOB=角BOC=角COA=60度，求交线OA于平面OBC所成的角。

向量OA=（向量OB+向量AB），O是内心，又因为AB=BC=CA，所以OA于平面OBC所成的角是30度。

二面角定义平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角。（这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面）1

平面角以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

平面角是直角的二面角叫做直二面角。

两个平面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。1

大小范围范围为：0≤θ≤π；

相交时 0ab=0

空间的角直线所成的角：设直线m、n的方向向量为a、b，m，n所成的角为a。

cosa=cos=a*b/|a||b|

直线和平面所成的角：设直线m的方向向量为a，平面e的法向量为c。

设b为m和e所成的角，则b=π/2±，sinb=|cos|=|a*c|/|a||c|

距离求解异面直线的距离：l1、l2为异面直线，l1，l2公垂直线的方向向量为n，C、D为l1、l2上任意一点，l1到l2的距离为|AB|=|CD*n|/|n|

点到平面的距离：设PA为平面的一条斜线，O是P点在a内的射影，PA和a所成的角为b，n为a的法向量。

易得：|PO|=|PA|sinb=|PA|*|cos|=|PA|*(|PA*n|/|PA||n|)=|PA*n|/|PA|

直线到平面的距离为在直线上一点到平面的距离；

平面到平面的距离为在平面上一点到平面的距离；

点到直线的距离：A∈l，O是P点在l上的射影，PA和l所成的角为b，s为l的方向向量。易得：

|PO|=|PA|*|sinb|=|PA|*|sin|=|(PA|^2|s|^2|-|PA*s|^2)^1/2/|s|2

线面方程定义平面：在空间中，到两点距离相等的点的轨迹叫做平面。

直线：同时属于两个平面的点的轨迹。

或：在平面里，到两个点距离相等的点。3

方程平面：根据定义，设动点为M（x，y，z），两点分别为（a，b，c）和（d，e，f）

则[(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2]^1/2

=[(x-d)^2+(y-e)^2+(z-f)^2]^1/2x^2-2ax+y^2-2by+z^2-2cz(a^2+b^2+c^2)

=x^2-2dx+y^2-2ey+z^2-2fz+(d^2+e^2+f^2)(2d-2a)x+(2e-2b)y+(2f-2c)z+(a^2-d^2+b^2-e^2+c^2-f^2)

=0

形式为ax+by+cz+d=0。

直线：根据定义，可列方程组：

ax+by+cz+d=0

ex+fy+gz+h=0

得其形式是：

x=jz+k

y=lz+m3

线面求法（1）三点式

则三点同时满足

ax0+by0+cz0+d=0

ax1+by1+cz1+d=0

ax2+by2+cz2+d=0

可得出a-b-c-d的关系，再把d取特殊值，解方程。

（2）点线式

可在线上找两个点，转化成三点式。

（3）双线式（不异面）

可在两个线上共找三个点，转化成三点式。得：ax+by+cz+d=0

（4）线斜式

斜率：该平面和xOy平面的二面角的正切。

求法：设该平面为ax+by+cz+d=0,xOy是z=0

即k=c/(a^2+b^2+c^2)且它通过y=kx+b,z=lz+a

根据判定，可得a-b-c-d的关系。再把d赋特殊值。

（5）两点式

用待定系数法求出k,l,m,n的关系，再取特殊值。3

向量求法直线：截取直线l上两点A（l,n,0）和B（k+l,m+n,1）方向向量为：AB=（k,m,1）

平面：取平面内三点：A(0,0,-d/c)B(1,1,-(d+b+a)/c)C(0,2,-(d+2b)/c)

AC=(0,2,-2b/c)AB=(1,1,-(a+b)/c)

设向量n：(x,y,c)为平面的法向量，则

2y-2b=0 x+y-(a+b)=0

y=b x=a

则n=(a,b,c)为平面的一个法向量。

直线平面的关系

直线和直线：

设设直线方程为x=k1z+l1,y=m1z+n1和x=k2z+l2,y=m2z+n2

相交：两条直线所组成的方程组有实数解

平行：k1/k2=m1/m2且l1/l2≠n1/n2

异面：不相交也不平行

垂直：k1k2+m1m2=-1

直线和平面

设直线方程为x=kz+b,y=lz+a,平面方程为cx+dy+ez+f=0,p=k+l+e,q=a+b+f

属于：p=0,q=0

平行：p=0,q≠0

相交：p≠0

垂直：k/c=b/d=e

平面和平面

设平面方程为ax+by+cz+d=0和ex+fy+gz+h=0，p=a/e,q=b/f,r=c/g,s=d/h

相交:不平行

平行：p=q=r≠s

垂直：ae+bf+cg=03

知识点总结1.直线在平面内的判定

(1)利用公理1：一直线上不重合的两点在平面内，则这条直线在平面内。

(2)若两个平面互相垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即若α⊥β,A∈α，AB⊥β，则AB∈α。

(3)过一点和一条已知直线垂直的所有直线，都在过此点而垂直于已知直线的平面内，即若A∈a,a⊥b，A∈α,b⊥α，则a∈α。

(4)过平面外一点和该平面平行的直线，都在过此点而与该平面平行的平面内，即若P∈α，P∈β，β不平行α，P∈a,a∥α，则a∈β。

(5)如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内，即若a包含于α,A∈α，A∈b,b∥a,则b包含于α。

2.存在性和唯一性定理

(1)过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条；

(2)过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条；

(3)过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个；

(4)与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条；

(5)过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；

(6)过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个；

(7)过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个；

(8)过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个。

3.射影及有关性质

(1)点在平面上的射影：自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影，点的射影还是点。

(2)直线在平面上的射影：自直线上的两个点向平面引垂线，过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影，和射影面垂直的直线的射影是一个点；不与射影面垂直的直线的射影是一条直线。

(3)图形在平面上的射影：一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影。当图形所在平面与射影面垂直时，射影是一条线段；当图形所在平面不与射影面垂直时，射影仍是一个图形。

(4)射影的有关性质：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：(i)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；(ii)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；(iii)垂线段比任何一条斜线段都短。

4.空间中的各种角等角定理及其推论定理

若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角)相等。异面直线所成的角

(1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′a,b′∥b,则a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角。

(2)取值范围：0°