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[科普中国]-正项级数

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定义

若数项级数各项的符号都相同,则称它为同号级数。对于同号级数,只需研究各项都是由正数组成的级数,称它为正项级数。如果级数的各项都是负数,则它乘以-1后就得到一个正项级数,它们具有相同的敛散性。1

换句话说,若 ,则称级数正项级数。2

收敛性判别部分和数列判别法 正项级数的部分和数列 是单调增加的数列即: 收敛的充要条件是有界,因此有:

正项级数 收敛的充要条件是:它的部分和数列 有界,即存在某正数 ,对于一切正整数 。1

比较原则设 是两个正项级数,如果存在某正数 ,使得对一切 都有 ,则有:

(1)若级数 收敛,则级数 也收敛;

(2)若级数发散,则级数也发散。1

比式判别法(达朗贝尔判别法)设 为正项级数,且存在某正常数 及常数

(1)若对一切 ,成立不等式 ,则级数 收敛;

(2)若对一切 ,成立不等式 ,则级数 发散。

比式判别法的极限形式:

为正项级数,且 ,则有:

(1)当 时,级数 收敛;

(2)当 时,级数 发散。

注意:若 ,这时用比式判别法不能对级数的敛散性做出判别,因为它可能是收敛的,也可能是发散的,例如级数 ,他们的比式极限都是 ,但 是收敛的, 却是发散的。1

根式判别法(柯西判别法)设 为正项级数,且存在某正常数 及正常数

(1)若对一切 ,成立不等式 ,则级数 收敛;

(2)若对一切 ,成立不等式 ,则级数 发散;

柯西判别法的极限形式:

为正项级数,且 ,则:
(1)当 时,级数 收敛;

(2)当 ,级数 发散。

注意:若 ,这时用根式判别法不能对级数的敛散性做出判别,因为它可能是收敛的,也可能是发散的,例如级数 ,他们的比式极限都是 ,但 是收敛的, 却是发散的。1

积分判别法积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质,并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性。

上非负减函数,那么正项级数 与反常积分 同时收敛或同时发散。1

典例p级数讨论 级数 的收敛性,其中常数

解:分两种情况讨论,

(1)当 级数的各项大于等于调和级数 的对应项,即 ,由于调和级数发散,因此根据比较判别法可知,此时 级数发散。

(2)当 时,记 级数的部分和为: .

时,取 ,则有 ,所以有:

从而

即有

这表明当时, 级数的部分和有界。因此,当时,级数收敛。2

例2讨论正项级数的敛散性。

解:

(1)当时,对一切都有,因此级数发散。

(2)当时,对一切都有,而为收敛的等比数列,因此级数收敛。3