[科普中国]-正项级数

定义

若数项级数各项的符号都相同，则称它为同号级数。对于同号级数，只需研究各项都是由正数组成的级数，称它为正项级数。如果级数的各项都是负数，则它乘以-1后就得到一个正项级数，它们具有相同的敛散性。1

换句话说，若 ，则称级数 为正项级数。2

收敛性判别部分和数列判别法 正项级数的部分和数列 是单调增加的数列即： ， 收敛的充要条件是有界，因此有：

正项级数 收敛的充要条件是：它的部分和数列 有界，即存在某正数 ，对于一切正整数 有 。1

比较原则设 和 是两个正项级数，如果存在某正数 ，使得对一切 都有 ，则有：

（1）若级数 收敛，则级数 也收敛；

（2）若级数发散，则级数也发散。1

比式判别法（达朗贝尔判别法）设 为正项级数，且存在某正常数 及常数 。

（1）若对一切 ，成立不等式 ，则级数 收敛；

（2）若对一切 ，成立不等式 ，则级数 发散。

比式判别法的极限形式：

设 为正项级数，且 ，则有：

（1）当 时，级数 收敛；

（2）当 或 时，级数 发散。

注意：若 ，这时用比式判别法不能对级数的敛散性做出判别，因为它可能是收敛的，也可能是发散的，例如级数 和 ，他们的比式极限都是 ，但 是收敛的， 却是发散的。1

根式判别法（柯西判别法）设 为正项级数，且存在某正常数 及正常数 。

（1）若对一切 ，成立不等式 ，则级数 收敛；

（2）若对一切 ，成立不等式 ，则级数 发散；

柯西判别法的极限形式：

设 为正项级数，且 ，则：
（1）当 时，级数 收敛；

（2）当 ，级数 发散。

注意：若 ，这时用根式判别法不能对级数的敛散性做出判别，因为它可能是收敛的，也可能是发散的，例如级数 和 ，他们的比式极限都是 ，但 是收敛的， 却是发散的。1

积分判别法积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性。

设 为 上非负减函数，那么正项级数 与反常积分 同时收敛或同时发散。1

典例p级数讨论 级数 的收敛性，其中常数 。

解：分两种情况讨论，

（1）当 ， 级数的各项大于等于调和级数 的对应项，即 ，由于调和级数发散，因此根据比较判别法可知，此时 级数发散。

（2）当 时，记 级数的部分和为： .

当 时，取 ，则有 ，所以有：

从而

即有 。

这表明当时， 级数的部分和有界。因此，当时，级数收敛。2

例2讨论正项级数的敛散性。

解：

（1）当时，对一切都有，因此级数发散。

（2）当时，对一切都有，而为收敛的等比数列，因此级数收敛。3