[科普中国]-双正交小波

基本概况

小波分析是纯粹数学和应用数学的完美结合，理论上它是刻画函数空间与研究算子作用的重要方法，它的产生、发展和应用始终受益于计算机科学、信号处理、图像处理、应用数学和纯粹数学、等众多科学研究领域专家学者和工程师们的共同努力。2

历史发展1990年，崔锦泰和王建忠构造了基于样条的双正交小波函数，并讨论了具 有最好局部化性质的尺度函数和小波函数；

1992年，Daubechies等人提出了具有紧支撑的双正交小波基；

1992年，A Cohen等人又构造了具有线性相位的双正交小波，使小波分析更适用于信号处理；

1994年12月，Sweldens Wim提出了不依靠傅里叶变换，而运用提升算法构造的双正交小波(称之为第二代小波)变换；

1996年，SweldenS从一个全新的视角来讨论紧支集双正交小波函数的构造，提出了一种上升型方案。

主要分类双正交小波构造方法可大致分为两类：频谱分解和提升格式。传统的双正交小波构造方法基于频谱分解，其中有代表性的是Cohen等人提出的CDF方法。3通过预先指定小波及其对偶的消失矩，再对相应的三角多项式进行频谱分解，他们构造出双正交样条小波(Biorthogonal Spline Wavelet,BSW)系列以及无理数系数的CDF9-7，CDF11-9等小波。然而，该类方法构造过程复杂、不易推广，且在构造高消失矩小波时需要分解高阶三角多项，这并不是一个平凡的数学过程。

构造方法提升格式是一种完全基于时域的双正交小波构造方法，与频谱分解方法相比，提升格式有固定的小波构造公式，其不仅简单易于理解，具有通用性和灵活性，而且有高效的小波变换实现方式。基于提升格式的小波理论与应用迅速吸引了众多专家的密切关注。4

具体到双正交小波构造方面：Sweldens给出了Deslauriers-Dubuc小波(D-DW)系列的提升构造过程。Li等人研究了提升格式与消失矩的关系，提出从任意小波出发，构造具有任意消失矩小波的方法。