[科普中国]-泊松方程

方程的叙述

泊松方程为2

在这里 代表的是拉普拉斯算子，而f和 可以是在流形上的实数或复数值的方程。当流形属于欧几里得空间，而拉普拉斯算子通常表示为 ，因此泊松方程通常写成

在三维直角坐标系，可以写成

如果有 恒等于0，这个方程就会变成一个齐次方程，这个方程称作“拉普拉斯方程”。

泊松方程可以用格林函数来求解；如何利用格林函数来解泊松方程可以参考屏蔽泊松方程。现在有很多种数值解。像是松弛法，不断回圈的代数法，就是一个例子。

数学表达通常泊松方程表示为

这里代表拉普拉斯算子，f为已知函数，而为未知函数。当 f=0时，这个方程被称为拉普拉斯方程。

为了解泊松方程我们需要更多的信息，比如狄利克雷边界条件:

其中 为有界开集。

这种情况下利用基础函数构建泊松方程的解，拉普拉斯方程的基础函数为:

其中 为n维欧几里得空间中单位球面的体积，此时可通过卷积得到 的解。

为了使方程满足上述边界条件，我们使用格林函数

为一个校正函数，它满足

通常情况下 是依赖于 。

通过 可以给出上述边界条件的解

其中 表示 上的曲面测度。

此方程的解也可通过变分法得到。

应用在静电学很容易遇到泊松方程。对于给定的f找出φ是一个很实际的问题，因为我们经常遇到给定电荷密度然后找出电场的问题。在国际单位制（SI）中：

此 代表电势（单位为伏特）， 是电荷体密度（单位为库仑/立方米），而 是真空电容率（单位为法拉/米）。

如果空间中有某区域没有带电粒子，则

此方程就变成拉普拉斯方程：

高斯电荷分布的电场

如果有一个三维球对称的高斯分布电荷密度 ：

此处，Q代表总电荷

此泊松方程： 的解Φ(r)则为

erf(x)代表的是误差函数。

注意：如果r远大于σ，erf(x)趋近于1，而电场Φ(r)趋近点电荷电场 ；正如我们所预期的。