[科普中国]-函数方程

概念定义

含有未知函数的等式叫做函数方程。如f(x+1)=x、f(－x)=f(x)、f(－x)= －f(x)、f(x+2)=f(x)等。其中f(x)是未知函数

解能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解。如f(x)=x－1、偶函数、奇函数、周期函数分别是上述各方程的解

解函数方程函数方程与代数方程、微分方程不同，并没有普遍的解法。所以这个分支也没能发展起来。如上述的解为Gamma函数和初等函数的方程的解法完全不同。

对于二元函数方程，对其变量赋予特殊值的做法较多。

例子：解函数方程。

设。所以。

现在，设：

由于实数的平方非负，以及两个非负数的和为零当且仅当两个数都为零，因此对于所有x，，所以f(x)=0是唯一的解。

定理若f(x)是单调（或连续）函数且满足f(x+y)=f(x)+f(y) (x,y∈R)、则f(x)=xf(1)

证明：由题设不难得

f(x1+x2+…+xn)=f(x1)+f(x2)+…+f(xn)

取x1=x2=…=xn=x，得f(nx)=nf(x) (n∈N+)

令x=0，则f(0)=nf(0)，解得f(0)=0 --------- （1）

x=1，则f(n)=nf(1)

x=m/n，则f(m)=nf(m/n) ，解得f(m/n)= f(m)/n= mf(1)/n --------- (2)

x=－m/n ，且令y=－x>0，则f(x)+f(y)=f(x+y)=f(0)=0

∴f(x)=－f(y)=－yf(1)=xf(1) (m,n∈N+,且(m,n)=1) ---------(3)

由上述（1）（2）（3）知：对任意有理数x均有f(x)=xf(1)

另一方面，对于任意的无理数x，因f(x)连续，取以x为极限的有理数序列，则有 ：f(x)= f(xn)= xnf(1)=xf(1)

综上所述，对于任意实数x，有

f(x)=xf(1)

解法代换法把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换（代换时应注意使函数的定义域不会发生变化），得到一个新的函数方程，然后设法求得未知函数

例1 （1）已知f(2x－1)=x2+x，那么f(x)=______________。

略解：设t=2x－1，则x= (t+1)/2，那么f(t)= [(t+1)2]/4+ (t+1)/2=(t2+4t+3)/4

故f(x)=(x2+4x+3)/4

(2) 已知f(x+1)=x+2 ，那么f(x)=____________。

略解：f(x+1)=(x+1)2－1，故f(x)=x2－1 (x≥1)

(3) 已知f(x+2)=x2+2，那么f(x)=_______________。

略解：f(x+2)=(x+2)2－2，故f(x)=x2－2 (|x|≥2)

例2 设ab≠0,a2≠b2，求af(x)+bf(-t)=cx的解

解：分别用x=-t，x=t代入已知方程，得

af(-t)+bf(t)=-ct------(1)

af(t)+bf(-t)=ct------(2)

由（1）（2）组成方程组解得 f(t)=ct/a-b

即： f(x)=cx/a-b

待定系数法当函数方程中的未知数是多项式时，可用此法经比较系数而得1

例3 已知f(x)是一次函数，且f{f[f...f(x)]}=1024x+1023。求f(x)10

解：设f(x)=ax+b (a≠0)，记f{f[f…f(x)]}=fn(x)，则

n次

f2(x)=f[f(x)]=a(ax+b)+b=a2x+b(a+1)

f3(x)=f{f[f(x)]}=a[a2x+b(a+1)]+b=a3x+b(a2+a+1)

依次类推有：f10(x)=a10x+b(a9+a8+…+a+1)=a10x+...

由题设知：

a10=1024

∴a=2，b=1 或 a=－2，b=－3

∴f(x)=2x+1 或 f(x)=－2x－3

迭代法由函数方程找出函数值之间的关系，通过n次迭代得到函数方程的解法

例4 设f(x)定义在正整数集上，且f(1)=1,f(x+y)=f(x)+f(y)+xy。求f(x)

解：令y=1，得f(x+1)=f(x)+x+1

再依次令x=1,2,…,n－1，有

f(2)=f(1)+2

f(3)=f(2)+3

……

f(n－1)=f(n－2)+(n－1)

f(n)=f(n－1)+n

依次代入，得

f(n)=f(1)+2+3+…+(n－1)+n=

∴f(x)= n(n+1)/2

(x∈N+)

例5 ，已知f(1)= 且当n>1时有 。求f(n) (n∈N+)

解：把已知等式（递推公式）进行整理，得

f(n－1)－f(n)=2(n+1)f(n)f(n－1)

∴ =2(n+1)

把n依次用2,3,…,n代换，得(n－1)个等式相加，得

=2[3+4+…+(n+1)]=(n－1)(n+4)

∴ f(n)= (n－1)(n+4)=n2+3n+1

∴f(n)=n2+3n+1

柯西法在f(x)单调（或连续）的条件下，利用柯西函数方程的解求解

例6 设f(x)连续且不恒为0，求函数方程f(x+y)=f(x)f(y)的解

解：∵f(x)=f(x+y)=f(x)f(y)≥0

若存在x0∈R，使f(x0)=0。则对一切实数x，有

f(x)=f(x－x0+x0)=f(x－x0)f(x0)=0

这与f(x)不恒为0矛盾，故f(x)>0

对题设f(x+y)=f(x)f(y)两边取自然对数，得

㏑f(x+y)=㏑f(x)f(y)

∴㏑f(x+y)=㏑f(x)+㏑f(y)

令g(x)=㏑f(x)

∵f(x)>0且连续 ∴g(x)连续且满足g(x+y)=g(x)+g(y)。由定理知：

g(x)=g(1)x

故 ㏑f(x)=x㏑f(1)

∴f(x)=ex㏑f(1)=f(1)^x

令f(1)=a，则f(x)=ax (a>0)

类似的，利用柯西函数方程的解，在连续或单调的条件下可得：

（1） 若f(xy)=f(x)+f(y) (x>0,y>0)，则f(x)=㏒ax

（2） 若f(xy)=f(x)f(y) (x>0,y>0)，则f(x)=ux(u由初值给出)

（3） 若f(x+y)=f(x)+f(y)+kxy，则f(x)=ax2+bx

（4） 若f(x+y)+f(x－y)=2f(x)，则f(x)=ax+b

例子函数方程

的解是黎曼ζ函数。2

函数方程

的解是伽玛函数。

函数方程

的解是伽玛函数。