[科普中国]-分离变量法

主要思想

数学上，分离变量法是一种解析常微分方程或偏微分方程的方法。使用这方法，可以借代数来将方程式重新编排，让方程式的一部分只含有一个变量，而剩余部分则跟此变量无关。这样，隔离出的两个部分的值，都分别等于常数，而两个部分的值的代数和等于零。1

利用高数知识、级数求解知识，以及其他巧妙的方法，求出各个方程的通解。最后将这些通解“组装起来”。分离变量法是求解波动方程初边值问题的一种常用方法。

常微分方程第一种方法假若，一个常微分方程可以写为2

。

设定变量 y=f(x)。那么，

．(1)

只要是 ，就可以将方程式两边都除以h(y) ，再都乘以 dx ：

。

这样，可以将两个变量x ，y 分离到方程式的两边。由于任何一边的表达式跟另外一边的变量无关，表达式恒等于常数k 。因此，可以得到两个较易解的常微分方程；

。

第二种方法有些不喜欢用莱布尼茨标记(Leibniz's notation) 的数学家，或许会选择将公式 (1) 写为

。

这写法有一个问题：无法比较明显的解释，为什么这方法叫作分离变量法？

随着 x积分公式的两边，可以得到

。(2)

应用换元积分法，

。

假如，可以求算这两个积分，则这常微分方程有解。这方法允许将导数 当做可分的分式看待，可以较方便的解析可分的常微分方程。

偏微分方程给予一个n 元函数的偏微分方程，有时候，为了将问题的偏微分方程式改变为一组常微分方程，可以猜想一个解答；解答的形式为2

，

或者

。

时常，对于每一个自变量 ，都会伴随着一个分离常数。如果，这个方法成功，则称这偏微分方程为可分偏微分方程(separable partial differential equation)。

例子设复数 ，两边对 求导数，得

分离变量，得

对两边积分，得

即

取 得， ，故有 ，即