[科普中国]-线性常微分方程

定义

一阶线性微分方程的多种解法及其教学问题：

对应的齐次线性方程为 ：

常系数非齐次线性微分方程欲得到非齐次线性微分方程的通解，我们首先求出对应的齐次方程的通解，然后用待定系数法或常数变易法求出非齐次方程本身的一个特解，把它们相加，就是非齐次方程的通解1。

待定系数法考虑以下的微分方程：

对应的齐次方程是：

它的通解是：

由于非齐次的部分是 ，我们猜测特解的形式是：

把这个函数以及它的导数代入微分方程中，我们可以解出A：

因此，原微分方程的解是2：

常数变易法假设有以下的微分方程：

我们首先求出对应的齐次方程的通解 ，其中C1、C2是常数，y1、y2是x的函数。然后我们用常数变易法求出非齐次方程的一个特解，方法是把齐次方程的通解中的常数C1、C2换成x的未知函数u1、u2，也就是3：

两边求导数，可得：

我们把函数u1、u2加上一条限制：

于是：

两边再求导数，可得：

把(1)、(3)、(4)代入原微分方程中，可得：

整理，得：

由于y1和y2都是齐次方程的通解，因此和都变为零，故方程化为：

(2)和(5)联立起来，便得到了一个和的方程组，便可得到和的表达式；再积分，便可得到和的表达式。

这个方法也可以用来解高于二阶的非齐次线性微分方程。一般地，有：

其中W表示朗斯基行列式。