[科普中国]-同余方程

概念

定义1：设是整系数多项式，称

是关于未知数的模的同余方程，简称为模的同余方程。

若，则称为次同余方程。

定义2：设是整数，当时，成立，则称是同余方程的解。凡对于模同余的解，被视为同一个解。同余方程的解数是指它的关于模互不相余的所有解的个数，也即在模的一个完全剩余系中的解的个数。

由定义2，同余方程的解数不超过。1

基本原理定理：下面的结论成立：

（1）设是整系数多项式，则同余方程与

等价；

（2）设是整数，，则同余方程与

等价；

（3）设是素数，，与都是整系数多项式，又设是同余方程的解，则必是同余方程

的解。

证明：（1）若，则成立，反之，若，则成立；

（2）若，则成立，反之，若，则由得成立；

（3）若，则由是素数得或。证毕。1