[科普中国]-共轭曲线

概念

如果在两条曲线之间可以建立一个点对应，使得在对应点这两条曲线有公共的主法线，则称这两条曲线为共轭曲线。如果一条曲线有不与自身重合的共轭曲线，则称其为Bertrand曲线。互为共轭的曲线 之间距离为常数，且在对应点间的切线成定角。

设计共轭曲线机构的图解法包络法已知实现给定运动规律的瞬心线 、 及共轭曲线中的一条曲线 ，求 。这相当于由 、 求 、 的逆过程。

设 相对 滚动（图1），其角速度分别为 、 ，应用反转法，给整个机构绕 的反转角速度 ，则 固定， 沿 滚动，如图1表示 连同 滚到 、 等位置。此时： ，与 固结的 。

设想 沿 滚动至无数点接触，相应地有无数条曲线 、 、 、 ，这些 曲线的包络线即为曲线 。由此可知，已知 、 和共轭曲线 、 中的一条，可利用包络原理求出与其共轭的另一条，故共轭曲线机构常称为包络线机构。注意图1中法线 过点 、 过点 、 ， 常值。

法线法设给定瞬心线 、 的中心距 、传动比 及共轭曲线中的一条曲线 ，求作啮合线及 。

如图2，建立三个坐标系：定坐标系 或 ，分别与 、 一起转动的动坐标系 或 、 或 三个坐标的始位相互平行。起始时 上点 进入啮合，法线过点。设转过角，由可知转过，此时转到图示的，的法线亦过点，故点进入啮合。为啮合点画在上的轨迹，称为啮合线；、、等啮合点画在动坐标系上的轨迹即为所求曲线，图示为始位。注意等啮合点画在上的轨迹就是曲线。1