[科普中国]-雅可比椭圆函数

雅可比椭圆函数的定义

雅可比椭圆函数有十二种，各对映到某个矩形的顶点连线。此诸顶点记作 。

视此矩形为复数平面的一部分， 是原点， 是实轴上的一点 是 ， 是 。 与 称作四分之一周期。

十二个椭圆函数分别记为 。为方便起见，取变数 意指矩形上的任一对顶点，则函数 是满足以下性质的周期亚纯函数:

是单零点， 是单极点。

在 方向的周期等于 距离的两倍。对另两个从 出发的方向， 亦满足同样性质。

在顶点 的展式首项系数均为一。

表列如次：

|| ||

一般而言，须以平行四边形代替上述矩形，以考虑更一般的周期。

雅可比椭圆函数的性质特殊点的值

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sn(mK+niK±z)诱导公式表

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cn(mK+niK±z)

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dn(mK+niK±z)

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基本关系

可见，雅可比椭圆函数的关系与圆函数（三角函数）相似1。

加法定理 由此可见 (cn,sn,dn) 描出射影空间 中两个二次曲面之交，这同构于一条椭圆曲线。曲线上的群运算由下列加法公式描述：

函数的平方之间的关系

反函数

用Θ函数来定义雅可比椭圆函数也可以用Θ函数来定义。如果我们把 简写为 ，把 分别简写为 （Theta常数），那么椭圆模k是 。如果我们设 ，我们便有2：

常微分方程的解[编辑]三个基本的雅可比椭圆函数的导数为：

根据以上的加法定理，可知它们是以下非线性常微分方程的解3：

是微分方程 和 的解；

是微分方程 和 的解；

是微分方程和的解4。