[科普中国]-垂直线

定义

当两条直线相交所构成的四个角中，如果有一个角是直角，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线（垂直线），它们的交点叫做垂足。两条直线互相垂直，是两条直线间又一重要的位置关系。

证明两直线垂直的方法说明证明两条直线互相垂直的方法很多，现列出十种主要方法如下：

1．直接用定义。即证相交两直线所构成的角中有一个是直角，或通过计算，求出其中的一个角等于90°。

2．如果一三角形中，有两个内角之和等于90°，那么这个三角形是直角三角形。

3．一条直线垂直于平行线中的一条，则这条直线也垂直于平行线中的另一条直线。

4．利用等腰三角形“三线合一”的性质，即等腰三角形底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合。

5．利用勾股定理逆定理。即在△ABC中，如果它的三条边 有关系式 ，那么∠C=90°(这个三角形是直角三角形)。

6．利用菱形的性质，即菱形的两条对角线互相垂直平分。

7．利用垂径定理及其逆定理。例如，在圆O中，P是弦AB的中点，连结OP，则OP⊥AB。

8．利用圆周角定理的推论。即在圆中，直径所对的圆周角是直角，或半圆所对的圆周角等于90°。

9．利用定理：在三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

10．利用切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

除了上述十种主要方法外，还有一些其他方法。例如，利用线段垂直平分线性质的逆定理，即如果一点到线段两端点的距离相等，那么这一点必在这条线段的垂直平分线上。也可以利用三角函数的计算来证明两直线垂直。例如，当角a是锐角时，如果sina=1，那么a=90°(当然，由cosa=0，或ctga=0，同样可推得a=90°)。总之，证明两条直线互相垂直的方法很多，读者在运用时既要根据所给条件或图形的特征，灵活选择方法，同时辅以必要的分析与综合，一定能较简捷地证明两条直线互相垂直。1

例题解析例1 如图1，在△ABC的外侧以AB、AC为斜边分别作等腰直角三角形ABD、ACE。设BC的中点为O，连结DO、EO，求证DO⊥EO且DD=EO。

分析: 利用等腰直角三角形的性质，取AB、AC的中点F、G，连结DF、FO、EG、GO。由三角形中位线性质，可得到 且 于是可得 ，有 且 。但 而 从而得到 即 。

(请读者自己完成证明过程。)

在本题中，由于中点较多，所以首先从三角形中位线性质去考虑。同时，本题是直接证得∠DOE=90°。从而有DO⊥EO的结论。

例2 如图2，△ABC中，已知AB=AC，且BM⊥AC，CN⊥AB(M、N为垂足)，又O、P分别是BC、MN的中点。求证：OP⊥MN。

分析一： 利用直角三角形斜边上中线的性质，容易得到 。这样，△OMN是一个等腰三角形，因为P是底 的中线，即得OP⊥MN。

分析二： 从已知∠BNC=∠BMC=90°，易证B、C、M、N四点共圆，圆心即点O。这样，线段MN是该圆的一条弦。因为P为MN中点，由垂径定理逆定理，即得OP⊥OM。

本题告诉我们，在证两条直线互相垂直时，要认真审题，看清图形特征，从而选择适当的方法。需要时也可一题多证，以培养发散思维及证题能力。1

坐标系中垂直关系的证明说明两直线垂直的充要条件：不与x轴垂直的两条直线的斜率互为负倒数。

例题解析**例1：**设直线 过点M(3，2)，且与直线 垂直，求直线 的方程。

**解：**直线 的斜率为 ，

直线 的斜率为 ，

故直线 的方程为 整理得 。

另外，两条直线 互相垂直的充要条件是： 。

**例2：**直线 互相垂直，求a的值。

解：

解得 或 。

另外与直线 ( 不同时为0)垂直的直线系方程为 。

例1也可这样解： 与直线 垂直的直线系方程为 ，直线过点M(3，2)，

所以 因此，所求的直线为 。2