[科普中国]-阶梯函数

概念

一个阶梯函数就是一个分段常值函数，只是含有的阶段很多但是有限。

定义在上的数值函数是阶梯函数，是指对任意的，存在上的一个阶台函数，使得对任意的，有。

于是说被一致地逼近，误差为。这相当于说，所谓是阶梯函数，是指是一致收敛的阶台函数的序列的（一致）极限。

如果是阶梯函数，则是有界的。实际上，从对任意的成立的，得

代数性质性质1：在上的阶梯函数形成一矢量空间，这空间用来表示。

这个性质是明显的。例如，从，，得

还要指出，是的子空间。

性质2：如果是阶梯函数，则也是阶梯函数。

只须对做证明即可；这性质来自

结果是，对两个（或有限多个）阶梯函数，，函数，也是阶梯函数。

性质3：如果是正阶梯函数或零，则存在一个正阶台函数或；零的序列，一致收敛到。

首先提出，如果对任意的；又如果收敛到，则。这是因为对一切，且。

从上面性质2得到，如果一致收敛到，则同时有也一致收敛到。可是对一切数值函数有，由此对使用加法有

于是一致收敛到。特别地，如果，则且是一致收敛到的正阶台函数的序列。1