[科普中国]-最优化问题

概念

工程设计中最优化问题（optimalization problem）的一般提法是要选择一组参数（变量），在满足一系列有关的限制条件（约束）下，使设计指标（目标）达到最优值。因此，最优化问题通常可以表示为以下的数学规划形式的问题。

对于一组可用列向量表示的变量，我们的目的是

式中的是“”的缩写，表示“在约束条件之下”。和是指目标函数取最大值或最小值。

因此，进行工程优化设计时，应将工程设计问题用上述形式表示成数学问题，再用最优化的方法求解。这项工作就是建立优化设计的数学模型。1

基本原理设计变量与设计空间式子中的是维实数空间（记为）中的一个向量，它由个分量组成。它是在最优化过程中变化而决定设计方案的量，即在最优化中需要进行选择的一组数值，称为设计变量向量。从几何上讲，每个变量向量就是以各变量分量为坐标轴的变量空间的一个点。当时，即只有一个变量分量，这个变量沿直线变化；当时，即只有两个变量分量时，这个变量向量的所有点组成一平面；而当时，组成立体空间。有三个以上变量分量时，则构成多维空间。设计空间的每一个设计变量向量对应于一个设计点，即对应于一个设计方案。设计空间包含了该项设计的所有可能方案。

目标函数式子中的称为目标函数。它是设计变量向量的实值连续函数，通常还假定它有二阶连续偏导数。目标函数是比较可供选择的许多设计方案的依据，最优化的目的就是要使它取极值。在变量空间中，目标函数取某常值的所有点组成的面称为等值面。即它是使目标函数取同一常数值的点集：

当，即只有两个变量分量时为等值线。

等值面具有以下性质：

（1）有不同值的等值面之间不相交。因为目标函数是单值函数。

（2）除了极值点所在的等值面以外，不会在区域的内部中断。因为目标函数是连续函数。

（3）等值面稠密的地方，目标函数值变化得比较快；稀疏的地方变化得比较慢。

（4）一般地说，在极值点附近等值面近似地呈现为通信椭圆面族。1