[科普中国]-比例规

简介

比例规又叫扇形圆规，是伽利略在1597年左右发明的。这个仪器是由一个框和一头边接在框上并能开合的两脚尺共同构成，每把尺上都有刻度(从框轴开始，以框轴为零点)。

根据相似三角形原理所制做的一种等分线段、按一定比例放大或缩小线段的工具。

放大和缩小已知直线比例规的主要作用是按一定的比迅速地放大和缩小已知它由长度相等的两脚AD和BC构成(图2)，两脚的两端都是尖的，两脚中间都有一条纵沟，沟内装有一个螺丝钉O，螺丝钉放松时，它可以在沟内滑动,螺丝钉转紧时，它可以固定在沟的任何地方，螺丝钉的位置固定在点O后，两脚可以绕O转动，在纵沟的旁边刻有数字，这个数字表示 或 的值。

如果要缩小线段 成为 ，先把螺丝钉O固定在两条纵沟边都刻有“3”字的位置，然后把两脚分开，使尖端A，B分别落在线段 两个端点。这时∠AOB和∠DOC因对顶角而相等,即等腰三角形OAB和ODC的顶角相等，易知

从而有

即比例规的C，D两个尖端所决定的线段是按定比3缩小 的线段。这时，把比例规倒转过来，在线段 上，从一端起连续截取等于CD的线段，这样就可把线段 三等分。

如果要放大线段 为 那么仍旧把螺丝钉固定在两条纵沟边都刻有3字的位置上，然后把两脚分开，使尖端C，D分别落在线段 的两个端点，根据前面同样的理由，比例规的A，B两个端点所决定的线段是按定比3放大 的线段。

利用比例规放大和缩小线段时，原线段和它的放大线段或缩小线段的长度还须用有刻度的直尺来量，并且这些钱段的长度必须在比例规两脚尖端所能指的范围以内。2

原理及其他用途比例规的原理很简单，仅利用相似三角形的性质(即相似三角形的对应线段成比例)，可以解决许多问题。例如：

(1)分已知线段为五个相等的部分；

(2)变更绘图的比例；

(3)在绘图中，从图里的已知量 求第四比例量(即求x，使得 )；

(4)如果以数的平方在一个脚尺上作刻度，便可以求数的平方与平方根；

(5)如以数的立方在一个脚尺上作刻度，便可以求数的立方与立方根；

(6)利用特制的比例规，还可以根据算好的刻度测出单位圆的特定度数的弧所对应的弦长；反之，根据弦长求角度，即作为量角器用。

比例规既是几何作图的工具，又可以用于实际测量和绘图。它在17世纪的欧洲很流行，并被人们通用了200多年。问世不久，就传人了中国。1630年罗雅谷在中国写了《比例规解》一书，介绍比例规的用法。此后中国数学家的书中就常有关于比例规的论述。我国故宫博物院内还藏有各种质料和不同类型的比例规几十具。3