[科普中国]-单连通区域

基础知识

先介绍平面曲线的有关概念。

定义1 设平面曲线 ，其中 是实的连续****函数，那么曲线C就称为连续曲线， 分别称为C的起点与终点，若在 上， 都连续且对每一个t，有 ，那么曲线C称为光滑曲****线。由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为逐段光滑曲线。对于满足 的 与 ，当 且 成立时，点 称为曲线C的重点。没有重点的连续曲线C称为简单曲线或若尔当(Jardan)曲线。若简单曲线C的起点与终点重合，即 ，那么曲线C称为简单闭曲线。如图1所示。

任意一条简单闭曲线C把整个复平面唯一地分成三个互不相交的点集，其中除去C以外，一个是有界区域，称为C的内部，另一个是无界区域，称为C的外部，C为它们的公共边界，简单闭曲线的这一性质，其几何直观意义是很清楚的。

定义2 复平面上的一个区域D，如果在其中任作一条简单闭曲线，而曲线的内部总属于D，就称D为单连通区域(图2(a))；一个区域如果不是单连通区域，就称为多连通区域(图2(b))。

一条简单闭曲线的内部是单连通区域(图2(a))，单连通区域D具有这样的特征：属于D的任何一条简单闭曲线，在D内可以经过连续的变形而缩成一点，而多连通区域就不具备这个特征。2

单连通区域的一些性质我们现在将概述单连通区域的一些性质，这些性质阐明它在全纯函数理论中起着重要作用。在这些性质中，(a)和(b)称为的内拓扑性质；(c)和(d)涉及嵌入s2内的方式；性质(e)到(h)按特征来说是分析性的；(i)是关于环的代数陈述。3

定理1 对于一个平面区域，下面九个条件中的每一个蕴涵着其余的各个条件：

(a)同胚于开单位圆盘U；

(b)是单连通的；

(c)对内每一条闭路径和对每一个；

(d)是连通的；

(e)每一个能用多项式在的紧子集上一致逼近；

(f)对每一个和在内每一条闭路径，

(g)每一个对应一个，使得；

(h)如果且，则存在一个，使得

(i)如果且，则存在一个，使得。

定理2 如果，此处为平面内任意开集，且在内没有零点，则在内调和。3

单连通区域内的柯西积分定理定理3 设在z平面上的单连通区域D内解析，C为D内任意一条围线，则4

推论1 设在单连通区域D内解析，C为D内任意一条闭曲线(C不必为简单闭曲线)，则。

证明: 由于闭曲线C总可以看成区域D内有限条周线衔接而成。因此，由复积分的曲线可加性及定理2即可得结论。

推论2 设函数在单连通区域D内解析，则在D内的积分与路径无关，即对D内任意两点以及D内任意两条以为起点，为终点的路径和，总有