[科普中国]-柱面坐标

定义

在空间直角坐标系中，任给一点P，设 是点 在 面上投影点的极坐标， 是点 的竖坐标，则称 是点 的柱面坐标(见图1)，记为 ，其中 (或 )， 。1

求曲面的柱面坐标方程的方法求曲面的柱面坐标方程的方法与步骤，和求直角坐标方程类似，就是把曲面看作适合某种条件的点的集合或轨迹，将已知条件用曲面上点的柱面坐标 和 的关系式表示出来，就得到曲面的柱面坐标方程 。1

柱坐标的坐标面特别地，方程 表示以 为轴的圆柱面； 表示过 轴的半平面； 表示垂直于 轴的平面，这三组面两两垂直，称为柱面坐标的坐标面，坐标面的交线称为坐标线。从图2可知，空间每一点P总可看作位于某一母线平行于z轴的圆柱面上，并有三条坐标线(过P垂直于z轴的射线、平行于z轴的直线和圆心在z轴且与z轴垂直的圆周)通过，所以把 称为点P的柱面坐标由此而来。1

当(常数)时，坐标面为柱面；

当(常数)时，坐标面为平面；

当(常数)时，坐标面为半平面(见图3)．2

柱面坐标变换空间中的任意点P的位置由3个参数 给出，其意义如图2所示， 称为柱面坐标。

从其与空间直角坐标系的关系得变换如下，此变换称为柱坐标变换。2

其中

柱坐标的体积微元柱坐标的体积微元由6个坐标面围成。

(1)半平面

(2)圆柱面

(3)平面

由于 所以 见图（4）。2

柱坐标的换元公式如果 在V上连续，在变换

其中

下，有则

值得注意的是，当r=0时，上面的公式亦成立．

在计算中，通常找出V在的投影区域D，即

从而得，然后在二重积分中利用极坐标变换即可．2

化曲面的普通方程化为柱面坐标方程设P点的柱面坐标为，点 满足

或

利用上述公式，可以化曲面的普通方程化为柱面坐标方程：

一般来说，如果一个曲面以z轴为对称轴，并且普通方程中含有 那么使用柱面坐标方程表示该曲面，可能会更简单。

例如，半球面旋转抛物面 锥面 化为柱坐标方程分别为 。而椭球面 的柱面方程为 。1