[科普中国]-垂直轴定理

概念

在物理学里，垂直轴定理（也叫正交轴定理）可以用来计算一片薄片的转动惯量。思考一个直角座标系，其中两个座标轴都包含与平行于此薄片；如果已知此薄片对于这两个座标轴的转动惯量，则垂直轴定则可以用来计算薄片对于第三个座标轴的转动惯量。

假设OXYZ座标系统的 X-轴与 Y-轴都包含与平行于此薄片，而 Z-轴垂直于薄片的面。 与 分别代表薄片对于 X-轴与 Y-轴的转动惯量．那么，薄片对于 Z-轴的转动惯量为

垂直轴定理、平行轴定理、与伸展定则可以用来计算许多不同形状的物体的转动惯量1。

证明任何实际存在的刚体都有厚度；不可能有零厚度的刚体。参考右图，假设这刚体是一块很薄的薄片，厚度 是均匀的，密度也是均匀的。设定薄片的面与 XY-面共平面2。那么，刚体对于 X-轴、Y-轴、与 Z-轴的转动惯量分别为 ，

，

。

由于厚度超小于薄片的面尺寸，我们可以忽略z对于积分的贡献．因此，

，

所以，

实例a) 如图2，一个半径为 ，质量为 的薄圆盘，对于 Z-轴的转动

惯量为 。

所以，对于X-轴与 Y-轴的转动惯量是

。

b) 如图3，一个尺寸为 ，质量为 的长方形薄片，

对于 X-轴、Y-轴、与 Z-轴的转动惯量分别为

，

，

。

很明显地， 。

应用与平行轴定理、伸展定则一样，垂直轴定理可以用来计算许多不同形状的物体的转动惯量。

1.刚体的一般性垂直轴定理为求三度刚体，特别是圆柱体和旋转体的转动惯量提供了一种简单而又有力的计算工具。对于轴向转动惯量已知的旋转体，为求横向转动惯量，该定理总是最简单的计算程序。

2.对于正多面体，只要当由对称性使得时，刚体的一 般性垂直轴定理提供的计算程序也是最简单的3。

相关知识平行轴定理

转动惯量