[科普中国]-指数曲线预测法

基本介绍

用指数曲线法外推预测，方法比较简单，故常称为简单外推法。指数曲线预测法是用指数函数曲线拟合预测对象的历史统计数据，从而建立能描述其发展过程的预测模型，然后以模型外推进行预测的方法。属于非性线趋势外推预测法，是增长曲线预测法的一种形式。其适用条件是，预测对象的增长趋势近似于指数函数曲线，而且判断它在预测期限内不会出现突然的变化。1

常用的其他增长曲线预测模型还有：龚伯兹曲线、逻辑曲线、对数抛物线和对数曲线等。

指数曲线预测的原理指数曲线的微分方程是

式中： 一是预测变量；

一是时间；

一是比例常数 。

这一方程表明预测变量 的增长 与 达到的水平成正比，也就是其增长率 是常数。例如研究经济现象时，当客观社会经济现象的发展变化，在一段时间里其增长率近似固定不变时，我们就可以用指数曲线趋势模型来拟合并预测，换言之，我们把某现象的时间数列观察值取对数，得一新的数列，若新数列近似地成等差数列，则该现象的发展演变基本符合指数曲线规律。

大量研究表明，某种技术的发展，某种新产品的生产以及占领市场等社会发展的定量特点都符合指数增长规律，特别是在现象产生和发展初期，这一规律在数学上表现更为精确，预测更为有效。2

指数曲线预测的模型指数曲线预测模型一般形式为(图像如图（1）)：

式中： 一预测值；

t 一时间；

a、b一模型参数；

e一自然对数、等于2.718。

为建立预测模型，首先对指数曲线模型两边取对数，变换为：

令

变换为

用最小二乘法求解未知数a'和b，代入上式，输入t值，计算出 。对 求反对数，得预测值 。3

应用领域指数曲线法主要用于研究事物在发生质变以前的发展速度与变化趋势。适用于经济技术特征参数稳定增长且远离极限值的各种经济技术特性参数增长的预测。3

使用条件利用指数曲线预测法的条件：

(1)待预测的功能特性参数(如飞机速度、电路容量、计时精度、光源效率、产品产量、销售量)与时间的关系必须符合指数增长规律；

(2)曲线斜率保持不变，这是因为特性参数未来的增长规律要与过去的增长规律完全相同；

(3)功能特性参数的预测区间必须远离饱和点即极限值。3

应用举例某商品1991年至1999年投入市场以来，市场总需求量统计资料如表1所示，试预测2000年的市场总需求量4

|| || 表1 某商品市场总需求量资料

1.选择预测模型

(1)描散点图，根据散点图分布来选择模型。

根据图（2）可以初步确定选择指数曲线预测模型 作为预测模型。

(2)计算一阶差比率(表2)，并结合散点图最后确定选择哪一种模型。

|| || 表2 指数曲线模型差分计算表

由表2可知，观察值 的一阶差比率大致相等，符合指数曲线模型的数字特征。

通过以上分析可知，所给统计数据的图形和数宇特征都同指数曲线模型相符，所以，可以选用 作为预测模型。

2. 求模型参数

先将观察值 的数据进行变换，使其满足 ，其变换数据如表3所示。

|| || 表3 观察值数据转换表

经计算得

根据直线预测模型公式得：

所以，所求指数模型为：。

3．预测2000年的总需求量为：4

(万件)