[科普中国]-空间向量分解定理

定理

(空间向量分解定理) 如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量p，存在一个惟一的有序实数组 ，使1

定理的证明

设 不共面(图1)，过点O作 ，过点P作直线PP'平行于OC，交平面OAB于点P'，在平面OAB内，过P'作直线 分别与直线OA，OB相交于点M，N，于是存在三个实数x，y，z，使

即

以下证明表达式( )是惟一的：

令

由于 不共面，可推出

叫做向量 的线性表达式或线性组合。

由上述定理可知，如果三个向量 是不共面的向量(线性无关)，那么 的线性组合 能生成所有的空间向量，这时 叫做空间的一个基****底，其中 都叫做基向量。同时可知，空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底。

( )式叫做向量p的沿基向量的分解式。

如果，那么(x，y，z)叫做向量p关于的坐标1。

推论设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在惟一的三个有序实数x，y，z，使

例题已知空间四边形OABC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG=2GN，试写出向量沿基底的分解式(图2)1。

解： 由线段中点的向量表达式，得