[科普中国]-最优化模型

最优化问题的概念

最优化问题就是在给定条件下寻找最佳方案的问题。最佳的含义有各种各样：成本最小、收益最大、利润最多、距离最短、时间最少、空间最小等，即在资源给定时寻找最好的目标，或在目标确定下使用最少的资源。生产、经营和管理中几乎所有问题都可以认为是最优化问题，比如产品原材料组合问题、人员安排问题、运输问题、选址问题、资金管理问题、最优定价问题、经济订货量问题、预测模型中的最佳参数确定问题，等等2。

最优化问题分类最优化问题根据有无约束条件可以分为无约束条件的最优化问题和有约束条件的最优化问题。无约束条件的最优化问题就是在资源无限的情况下求解最佳目标，而有约束条件的最优化问题则是在资源限定的情况下求解最佳目标。无约束条件的最优化问题是有约束条件的最优化问题的特例。实际问题一般都有资源限制，所以大部分最优化问题都是有约束条件的最优化问题。

最优化问题根据决策变量在目标函数与约束条件中出现的形式可分为线性规划问题和非线性规划问题。如果决策变量在目标函数与约束条件中只出现一次方的形式，即目标函数和约束条件函数都是线性的，则称该规划问题为线性规划问题。如果决策变量在目标函数或者约束条件中出现了一次方以外( 二次方、三次方、指数、对数、三角函数等)的形式，即目标函数或者约束条件函数是非线性的，则称该规划问题为非线性规划问题，其中只出现二次函数形式的问题称为二次规划问题。线性规划问题是最简单的规划问题，也是最常用的规划问题，对其进行的理论研究较早、也较成熟，可以找到全局最优解。非线性规划问题形式多样、求解复杂,不能保证找到全局最优解，大部分情况下只能找到局部最优解。线性规划问题是非线性规划问题的一种特例。

最优化问题根据决策变量是否要求取整数可分为整数规划问题和任意规划问题。整数规划问题中决策变量只能取整数，任意规划问题中决策变量可以取任意值，所以整数规划问题是任意规划问题的一种特殊形式。整数规划问题中如果决策变量只能取0或1，则称这种特殊的整数规划问题为0-1规划问题2。

最优化模型的数学描述将一个最优化问题用数学语言来描述，即为求函数在约束条件和下的最大值或最小值，其中为目标函数，为决策变量，为可行域。3

决策变量是指最优化问题中所涉及的与约束条件和目标函数有关的待确定的量。一般来说，它们都有一些限制条件（约束条件），与目标函数紧密关联。在最优化问题中，与变量有关的待求其极值（或最大值最小值）的函数称为目标函数。在最优化问题中，求目标函数的极值时，变量必须满足的限制称为约束条件。 例如，许多实际问题变量要求必须非负，这是一种限制；在研究电路优化设计问题时，变量必须服从电路基本定律，这也是一种限制等等。在研究问题时，这些限制我们必须用数学表达式准确地描述它们。

最优化模型的建立建立最优化模型的一般步骤(1) 确定决策变量和目标变量；

(2) 确定目标函数的表达式；

(3) 寻找约束条件3。

建立的原则最优化问题的数学模型一般都由设计变量、目标函数和约束条件三部分构成。这些要素在数学规划中都会得到完整的体现。数学模型只是真实系统的替代物，它的好坏直接影响到最优化设计的质量。因此，要构造一个好的模型，必须按照以下原则进行4。

(1) 用简单模型能够解决的问题就不要建立复杂的模型。就模型的结构而言，“越大”、“越复杂”并不一定意味着“越好”，与问题本身相比，模型的优化可能要花费更多的时间和财力。不能仅仅从模型的外观来判断模型的优劣，简单的模型不一定就劣，复杂的模型不一定就优。所以，在解决实际问题中，一定不要把模型摘得太复杂。

(2) 建立模型要避免生搬硬套。在数学模型与真实的系统之间，切不可通过修改问题去适应求解的方法，而应该是选择适合所求解问题的具体模型和方法。即切不可削足适履，而应该是选择适足之履。

(3) 必须严格掌握模型的推论。当模型的结论与实际不符时，要认真地找出可能产生的原因，尤其重要的是，要对原来的假设进行重新审查，一定要把表达式中的外部误差(由模型的构造产生)和逻辑方面的内部误差(由模型的求解或运行产生)区分开来。

(4) 在应用模型之前，必须对其有效性进行检验，以确切了解它与近似标准偏离或吻合的程度。应该既不强迫使用一个模型，也不在应用模型失败时随意地非难一个模型。

(5) 要十分重视信息工作。模型的工作情况取决于输人的信息。众所周知，计算机编程的规则是：输人的是垃圾，输出的必然是垃圾。这个准则对建立模型也同样适用。计算机或模型只能运用输人的数据工作，而对识别和纠正输人数据本身的错误是无能为力的。

(6) 模型不能代替决策者。常有人认为，一旦确定了所要考虑的事项，模型就会自动做出决策。这是一种误解。事实上，许多问题常常受到非数量因素的影响。这些问题需要依靠因人而异的决策能力来解决。只有最一般的决策问题才能靠模型“自动”地解决，但在出错时仍需要人来修正系统4。