[科普中国]-二维分布

二维分布(bivariate distribution)是同时考虑两个随机变量的情况，表示特性值或特性值组与相应频率(或频数) 之间的对应关系，或者是同时考虑的两个随机变量取给定值或属于一个给定值集的概率分布所确定的函数称为二维分布1。

定义定义随机变量ξ 和η (有时也称为二维随机向量（ξ，η）的二维(联合)分布函数为：

不难推知：（ξ，η） 落在矩形区域 上的概率为图(1)：

二维分布函数具有以下一些明显的性质：

(1) F(x,y)是x和y的非减函数。

即： ，当

当 。

(2) 在-∞处分布函数等于零，即

(3) 当任一个随机变量的值趋于 时，便得到另一个随机变量的(一维)分布函数。

和 分别叫做随机变量 和 的边际分布函数。

(4) 当x，y均趋向于﹢∞时，分布函数趋于1。

下面分别研究通常所遇见的两种类型的随机变量的分布2。

离散型二维分布离散型二维随机变量(D.B.R.V) r=r(X，Y)取值为有限或可列无限的向量(坐标对)，则称r(X，Y) 为离散型随机变量3

其分布律为

则由规范性有

称为随机向量r的分布律，即随机变量X和Y的联合分布律(Joint Distribution)，似矩阵的表格显示：

|| || 表1

连续型二维分布连续型二维随机变量 如果存在非负可积二元函数f(x,y)，使得随机向量r=r(X，Y) 的分布函数F(x，y)可表示为f(x,y)的变上限积分形式

则称(X，Y)为连续型二维随机变量(C.B.R.V)；非负可积函数f(x,y)称为(X，Y)的联合概率密度(Bivariate Density Function)3。

密度函数f(x,y)≥0的基本性质。

(1)非负性：f(x,y)≥0；

(2)规范性：

(3)概率意义：随机点(X，Y)落在某平面域D上的概率是密度函数在区域上的二重积分(图2)，即

(4)在f(x,y)的连续点处，有

即密度是二元分布函数的二阶混合偏导3。

本词条内容贡献者为:

尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学