基本介绍
由分式线性函数
所给出的映射叫做分式线性变换,它有几个特殊形式:
(1)平移变换这是整个平面的一个平移,每一个点都移动一个向量b。
(2)旋转变换(
是实数),这是以原点为中心的一个旋转,旋转角为
。
(3)相似变换这是一个以原点为中心,伸张系数为r的相似变换。
(4)倒数变换它又可以分解为:
及
前者是一个关于单位圆周的反演变换,后者是一个关于实轴的反射变换。
对任意分式线性变换,可分为两种情况;
1.若c=0,它是一个整线性变换可由(1)一(3)三种简单变换叠合而成。
2.若把它改写成
,可由(1)—(4)四种简单变换叠合而成1。
分式线性变换的性质定理1任一个分式线性函数(1),给出一个从闭z平面到闭w平面的双方单值的保角变换(这里我们定义两条曲线交在无穷远处的角,等于它们在倒数变换下的象曲线在原点的交角)1。
定理2**(保圆性)**分式线性变换把圆周变成圆周。
这里及下面几个定理中,所说到的圆周,都包括直线在内,也就是说,把直线看成是通过无穷远点的圆周。这样,一个圆周经过分式线性变换后,究竟是变成直线还是普通圆周,只要看它上面有没有无穷远点就可以确定。
定理3**(保对称点不变性)**分式线性变换把对某一圆周为对称的点,变为对这个圆周的象对称的点。
定理4任给z平面上三个不同的点和w平面上的三个点
则存在唯一个分式线性变换,把
分别变为
而且这个分式线性变换可表为
这里
。
如果或
中的某一个是
只需在(2)式中把含有这个数的因子改为1即可,例如,当
时,(2)式成为
即
由保圆性可知,分式线性变换(1),把由三点所确定的圆周C,变成由三点
所确定的圆周C',圆周C和C' 分别将z平免和w平面分成两个区域
及
和
及
,而且变换(1)把由
经
走向
时,位在左边的区域,变成在w平面上,由
经
走向
时,位在左边的区域。
利用分式线性变换解题时,下述事实是经常有用的: 如果一个分式线性变换满足条件
则这个变换可以表为
(k为任意复常数).
特别地,若则
。1