[科普中国]-互反函数

基本介绍

在数学中，有好些运算是互逆的。加和减，乘和除，乘方和开方，都属于这一类。一个自变数x，在经过一种运算之后得到y，再对这y进行相应的逆运算，结果是仍回到x。例如，以a乘x，得y =ax，将这y除以a，又得x，又如，将x平方，得再对y开平方，又得x。今以表示前一运算，以表示其逆运算，则上述关系可表示如下：

将写在后的方括号内，就表示内的那个变数y当用代入。例如，它们就符合上述条件，理由是:

从的组成上看，它也是一种复合函数。对式(1)两侧求导，当有:

式中：——对y的导数；

——对x的导数；

1——x对x的导数。

在式(1)中，一个运算是用将x变成y，另一个运算是用将y变成x，在这条件下，和实际上是同一个方程，它们的图形也是同一条曲线。以和为例，将后一式平方，得移除作乘，就得前一式。由此可见，若某个方程按对y求导要比对x求导方便，其切线的斜率y' (式(2)中的) 也可用x' (式(2)中的) 的倒数表示；即：

例如，所给的式子是则于是，

若将代人，。而在将化为再求导时，结果是相符的。但用式(B)来表示y'，时常较为简捷。

既然和在图上是同一条线，那就容易混淆。又因是表示将作为内的变数代人，至于内的变数原先是用什么字母来代表，那却没有多大关系。因此，常改作这也就是将原给的内的x和y对换，而后变形为。这样的和就叫互反函数2。

幂函数的反函数利用互反函数的这一对称性质来看幂函数，将见：

(1) 每一个幂函数的反函数仍是一个幂函数，因此，幂函数组成一个自反的函数族。这就是说，的反函数是(且后式也可写作)，而它们都是幂函数。

(2)指数是真分数的幂函数，它的反函数(也是幂函的指数就大于1(是原来那个真分数的倒数)。由于指数大于1的幂函数的描点制图较易进行，可以先将反函数图形作出，再利用原函数和反函数对直线的对称，原函数作出2。