[科普中国]-欧拉积分

简述

含参量积分

这两类特殊的含参量积分统称为欧拉积分，其中前者又称为 函数，后者称为B函数。1

Γ函数函数表达式

性质定义域： 函数在s>0时收敛，即定义域为s>0.

连续性：在任何闭区间 (a>0)上一致收敛，所以 在s>0上连续。

可微性： 在是s>0上可导，且

递推公式：

且当s为正整数时，有

的其他形式：

令 则有

令 则有1

B函数函数表达式

性质定义域： 的定义域为p>0,q>0。

连续性： 在p>0,q>0内连续。

对称性：

递推公式：

的其他形式：

令 则有

令 则有1

Γ函数与Β函数的关系

欧拉积分的应用一、2求积分

解：设 ，则

再作代换 得

二、3载流子浓度的统计分布

在半导体物理中，处于热平衡（非简并）条件下的半导体导带电子浓度 为

式中： 为导带顶能量； 为导带底能量； 为载流子有效质量； 为普朗克常数； 为玻尔兹曼常数； 为绝对温度； 为载流子能级； 为费米能级。

为了计算简便，引入

代入（1）式得

计算（2）式时，如果 为某一个确定的数值，则无法进行积分求解。如果将x'换成∞，那么，只需求解 就行。根据第二类欧拉积分（Γ-函数）

当 时

应用递推公式

于是， 可求得。