[科普中国]-正弦级数和余弦级数

以2l为周期的函数的傅里叶级数

设 是以 为周期的函数，则其傅里叶系数为

所以，其傅里叶级数为

若函数 在 上按段光滑，则由收敛定理得1

正弦级数与余弦级数奇函数的傅里叶级数—正弦函数设 是以 为周期的奇函数，或是定义在 上的奇函数，则在 上， 是奇函数， 是偶函数。因此， 的傅里叶系数是1

所以当 为奇函数时，它的傅里叶级数只含有正弦函数的项，即

其中 如（1）所示。（2）式右边的级数称为正弦级数。

当 ,则奇函数 所展开成的正弦级数为

其中

偶函数的傅里叶级数—余弦级数设 是以 为周期的偶函数，或是定义在 上的偶函数，则在 上， 是偶函数， 是奇函数。因此， 的傅里叶系数是1

于是 的傅里叶级数只含有余弦函数的项，即

其中 如（3）所示。（4）式右边的级数称为余弦级数。

当 ，则偶函数 所展开成的余弦函数为

其中

应用定义在 上的函数 展成正弦级数。

具体步骤2：

（1）奇延拓：在 上补充定义得 ，使得 在 为奇函数。

（2）对 作周期延拓。

（3）将经过奇延拓与周期延拓后的函数 展成傅里叶级数

其中

定义在上的函数展成余弦级数。

具体步骤：2

（1）偶延拓：在上补充定义得到，使得在为偶函数。

（2）对作周期延拓。

（3）将经过偶延拓与周期延拓后的函数展成傅里叶级数

其中