以2l为周期的函数的傅里叶级数
设 是以
为周期的函数,则其傅里叶系数为
所以,其傅里叶级数为
若函数 在
上按段光滑,则由收敛定理得1
正弦级数与余弦级数奇函数的傅里叶级数—正弦函数设 是以
为周期的奇函数,或是定义在
上的奇函数,则在
上,
是奇函数,
是偶函数。因此,
的傅里叶系数是1
所以当
为奇函数时,它的傅里叶级数只含有正弦函数的项,即
其中
如(1)所示。(2)式右边的级数称为正弦级数。
当 ,则奇函数
所展开成的正弦级数为
其中
偶函数的傅里叶级数—余弦级数设 是以
为周期的偶函数,或是定义在
上的偶函数,则在
上,
是偶函数,
是奇函数。因此,
的傅里叶系数是1
于是 的傅里叶级数只含有余弦函数的项,即
其中
如(3)所示。(4)式右边的级数称为余弦级数。
当 ,则偶函数
所展开成的余弦函数为
其中
应用定义在 上的函数
展成正弦级数。
具体步骤2:
(1)奇延拓:在 上补充定义得
,使得
在
为奇函数。
(2)对 作周期延拓。
(3)将经过奇延拓与周期延拓后的函数 展成傅里叶级数
其中
定义在
上的函数
展成余弦级数。
具体步骤:2
(1)偶延拓:在上补充定义得到
,使得
在
为偶函数。
(2)对作周期延拓。
(3)将经过偶延拓与周期延拓后的函数展成傅里叶级数
其中