[科普中国]-数列极限

基本概念数列

定义 若函数 的定义域为全体正整数集合 ，则称

为数列。因正整数集 的元素可按由小到大的顺序排列，故数列 也可写作

或可简单地记为 ，其中 称为该数列的通项。

数列极限定义 设为数列 ，a为定数。若对任给的正数 ，总存在正整数N，使得当 时有

则称数列 收敛于a，定数a称为数列 的极限，并记作

若数列 没有极限，则称 不收敛，或称 发散。1

等价定义 任给 ，若在 之外数列 中的项至多只有有限个，则称数列 收敛于极限a。

几何意义当n>N时，所有的点xn都落在(a-ε，a+ε)内，只有有限个（至多只有N个）在其外,如右图1

性质唯一性 若数列 收敛，则它只有一个极限。

有界性 若数列 收敛，则 为有界数列，即存在正数 ，使得对一切正整数n有

保号性 若 (或 )，则对 (或 ),存在正数N，使得当 时，有 (或 )。

保不等式性 设 与 均为收敛数列。若存在正数 ，使得当 时有 ，则

迫敛性 设收敛数列 ， 都以a为极限，数列 满足：

存在正数 ，当 时有 则数列 收敛，且

四则运算法则

若 与 为收敛数列，则 ， ， 也都是收敛数列，且有

若再假设 及 ，则 也是收敛数列，且有1

数列极限存在的条件单调有界定理 在实数系中，有界的单调有界数列必有极限。1

致密性定理 任何有界数列必有收敛的子列。

应用（1）求极限2

解：

（2）求极限3

解：

因为

且

所以，由迫敛性可得