[科普中国]-初等数学

基本内容小学

整数、分数和小学的四则运算、数与代数、空间与图形、简单统计与可能性、一元一次方程，圆，正负数，立体几何初步。

初中代数部分：1有理数（正数和负数及其运算），实数（根式的运算），平面直角坐标系，基本函数（一次函数，二次函数，反比例函数），简单统计，锐角三角函数，方程、（一元一次方程，二元一次方程组，一元二次方程，三元一次方程组），因式分解、整式、分式、一元一次不等式。

几何部分：全等三角形，四边形（重点是平行四边形及特殊的平行四边形），对称与旋转，相似图形（重点是相似三角形），圆的基本性质，

高中集合，基本初等函数（指数函数、对数函数，幂函数，高次函数），二次函数根分布与不等式，柯西不等式，排列不等式，初等行列式，三角函数，解析几何与圆锥曲线（椭圆，抛物线，双曲线），复数，数列，高等统计与概率，排列组合，平面向量，空间向量，空间直角坐标系，导数以及相对简单的定积分。

发展历史初等数学时期从公元前五世纪到公元十七世纪，延续了两千多年、由于高等数学的建立而结束。这个时期最明显的结果就是系统地创立了初等数学，也就是现在中小学课程中的算术、初等代数、初等几何(平面几何和立体几何)和平面三角等内容。

初等数学时期可以根据内容的不同分成两部分，几何发展的时期(到公元二世纪)和代数优先发展时期(从二世纪到十七进纪)。又可以按照历史条件的不同把它分成“希腊时期”、“东方时期”和“欧洲文艺复兴时期”。

希腊时期正好和希腊文化普遍繁荣的时代一致。希腊是一个文明古国，但是，和四大文明古国巴比伦、埃及、印度、中国相比，在文明史上，希腊文明要晚一段时间。

希腊的文明延续了一千年之久；从数学的发展情况来分又可以分成古典时期和亚历山大里亚时期。

东方时期主要指古希腊衰亡后，西方数学发展中心转移到东方的印度；阿拉伯等的时期。

欧洲的文艺复兴时期是初等数学发展到一定阶段，为数学向更高阶段发展作准备的时期。2

比较近年来高等数学已经在英语、法律等文科专业成为了一门重要的基础课程，说明高等数学的广泛应用性得到越来越多人的认识。初等数学只能解释常量的几何和物理问题，比如规则图形的长度、面积和体积，匀速直线运动等。而数学教育本质上是一种素质教育，学习数学的目的不仅仅在于学到一些数学的概念、公式和结论，更重要的是要了解数学的思想方法和精神实质，真正掌握数学这门学科的精髓。

初等数学与高等数学处在不同历史时期

数学的萌芽时期

远古时代至公元前6世纪，人类处于原始社会。社会实践活动主要是打猎与采集野果，形成整数概念，建立简单运算，产生几何上一些简单知识。这一时期的数学知识是零碎的，没有命题的证明和演绎推理。

变量数学时期

公元17世纪上半叶至19世纪2O年代，人类处于封建社会末期资本主义初期，经历了著名的文艺复兴。这时期数学研究的主要内容是数量的变化及几何变换。笛卡尔的解析几何学、牛顿一莱布尼茨的微积分及围绕微积分的理论和应用而发展起来的一大批数学分支，使数学进入一个繁荣的时代。

近代数学时期

19世纪20年代至2O世纪40年代，微积分基础的严格圆的切线，任意曲线的长度回多面体的表面积，不规则立体的体积，近世代数的问世、非欧几何的诞生、集合论的创立都是这一时期的成就。

现代数学时期

2O世纪4O年代至今，随着人类社会的发展而发展，数学是研究现实世界的数量关系与空间几何形状的科学。以数学理论为基础的计算机的发明使数学得到空前广泛的应用，泛函分析、模糊数学、分形几何、混沌理论等新兴数学分支产生。

区别数学的概念

数学，特别是现代形态的数学，是一种很空洞抽象的东西。从形式上看，数学是由无物质内容的形式符号按一定的“游戏规则”所组成的推演系统，它远离人的直接经验，具有一定的超现实性。数学这种形式上的“超现实性”在某种程度上是其在自然科学和社会科学中都有广泛而深刻的应用保证。但是我们在学习这种抽象的数学时，一定要结合具体而生动的实例加以理解，还抽象数学其现实本性。这样我们才会觉得数学是活的、生动具体的，而且体会到它为什么是这样的。做到知其然，更要知其所以然。

演算解题

高等数学，单靠教师把课讲好是远远不够的。只有调动学生学习的积极性和主动性，促使他们自觉地接受经常、充分而又严格的数学训练，才能使他们真正走近数学，取得切身的体会，从而加深对数学的理解。在认真复习的基础上做好习题，是和课堂教学联系最直接与紧密，同时也最利于经常实施和长期坚持的一项重要的数学训练。

逻辑结构

在现代数学中，符号演算在课程中常占着较大的比例，比如微积分中的极限演算，导数和各种积分演算等。数学，特别是高等数学是具有很精密而系统的建构性，它的任何章节，所有概念和定理无不是由严密的逻辑因果网编织连接在一起的。可以说，数学的逻辑结构乃是数学科学的本质与灵魂，是它的原理和精神的所在。因此在学习中尤其要加以理解和领会，做到融会贯通，举一反三。

联系高等数学可以为初等数学中常用的数学方法提供理论

现行的中学教材中，只讲怎样运用常用的数学方法--数学归纳法而不谈原理的证明，中学教材这样处理是考虑到中学生的知识水平、年龄特征和中学数学的教学目的。但对于一位未来的中学教师要知其然更要知其所以然。数学归纳法的合理性，是由自然数的归纳公理所保证的，也就是由归纳公理提供的。由该公理还可以演变出各种形式的归纳证明方法：第一数学归纳法、第二数学归纳法、反向归纳法、无穷递降归纳法等。用这些方法可以解决用其他数学方法难于处理的许多问题，具体实例在此处从略。

高等数学对初等数学的学习和教学有指导作用

用初等数学的方法研究函数的增减性、凹凸性、求极值、最值等种种特性有很大的局限性。而在高等数学中利用极限、导数、级数等知识可用比较完备的方法研究函数的特性3。