[科普中国]-度量张量

介绍

在黎曼几何里面，度量张量（英语：Metric tensor）又叫黎曼度量，物理学译为度规张量，是指一用来衡量度量空间中距离，面积及角度的二阶张量。1

当选定一个局部坐标系统，度量张量为二阶张量一般表示为 ，也可以用矩阵表示，记作为G或g。而记号传统地表示度量张量的协变分量（亦为“矩阵元素”）。

定义a到 b的弧线长度定义如下，其中参数定为t，t由a到b:2

两个切矢量的夹角 ,设矢量和 ，定义为：

若 f为 到 的局部微分同胚，其诱导出的度量张量的矩阵形式G，由以下方程计算得出：

J 表示f的雅可比矩阵，它的转置为。著名例子有 之间从极坐标 到直角坐标(x,y) 的坐标变换，在这例子里有：

这映射的雅可比矩阵为

所以

这跟微积分里极坐标的黎曼度量，一致。

例子二维欧几里德度量张量：

弧线长度转为熟悉微积分方程式：

在其他坐标系统的欧氏度量：

极坐标系：

圆柱坐标系：

球坐标系：

平面闵可夫斯基空间：

在一些习惯中，与上面相反地，时间ct的度规分量取正号而空间 (x,y,z)的度规分量取负号，故矩阵表示为：