[科普中国]-拉格朗日定理

拉格朗日定理存在于多个学科领域中，分别为：微积分中的拉格朗日中值定理；数论中的四平方和定理；群论中的拉格朗日定理 (群论)。

微积分在微积分中，拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形。

1.文字叙述如果函数 满足：1) 在闭区间 上连续；2) 在开区间 内可导；那么在 内至少有一点 ，使等式

成立。

2.逻辑语言的叙述若函数 满足：

则

3.证明令 ，那么1

1） 在 上连续，

2） 在 上可微（导），

3 ，由罗尔定理，存在一点 ，使得 。即 。

数论1.内容四平方和定理（Lagrange's four-square theorem） 说明每个正整数均可表示为4个整数的平方和。它是费马多边形数定理和华林问题的特例。注意有些整数不可表示为3个整数的平方和，例如7。

2.历史1. 1743年，瑞士数学家欧拉发现了一个著名的恒等式：。根据上述欧拉恒等式或四元数的概念可知如果正整数 和 能表示为4个整数的平方和，则其乘积 也能表示为4个整数的平方和。于是为证明原命题只需证明每个素数可以表示成4个整数的平方和即可。

2. 1751年，欧拉又得到了另一个一般的结果。即对任意奇素数 ，同余方程 必有一组整数解 满足 ， （引理一）。

至此，证明四平方和定理所需的全部引理已经全部证明完毕。此后，拉格朗日和欧拉分别在1770年和1773年作出最后的证明。

群论拉格朗日定理是群论的定理，利用陪集证明了子群的阶一定是有限群的阶的约数值。

1.定理内容叙述：设H是有限群 的子群，则 的阶整除 的阶。

定理的证明是运用 在 中的左陪集。 在 中的每个左陪集都是一个等价类。将 作左陪集分解，由于每个等价类的元素个数都相等，都等于 的元素个数（ 是 关于 的左陪集），因此 的阶（元素个数）整除 的阶，商是 在 中的左陪集个数，叫做 对 的指数，记作 。

陪集的等价关系

定义二元关系 ： 。下面证明它是一个等价关系。

1) 自反性： ；

2) 对称性： ，因此 ，因此 ；

3) 传递性： ，因此 ，因此 。

可以证明， 。因此左陪集是由等价关系 确定的等价类。

拉格朗日定理说明，如果商群 存在，那么它的阶等于 对 的指数 。

上述写法在为无限群时也成立。

2.推论由拉格朗日定理可立即得到：由有限群 中一个元素 的阶数整除群 的阶（考虑由 生成的循环群）。

3.逆命题拉格朗日定理的逆命题并不成立。给定一个有限群 和一个整除 的阶的整数 ， 并不一定有阶数为 的子群。最简单的例子是4次交替群 ，它的阶是12，但对于12的因数6， 没有6阶的子群。对于这样的子群的存在性，柯西定理和西洛定理给出了一个部分的回答。

本词条内容贡献者为:

尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学