[科普中国]-选择函数

选择函数是一个函数f，其定义域X为一堆非空集合组成的集合，且对每一于X内的S，f(S)会属于S。换句话说，f会在X的每一集合中选取一个且只一个元素。

定义设 X 是一个非空集合而且 X 的每一个元素都是非空的。一个从集合 X 到上的函数（映射）f 被称为 X 上的一个选择函数当且仅当对于每一个都有。1

定义域选择公理(AC)描述每一非空集合的集合都会有一选择函数。另一较弱的选择公理－可数选择公理(CC)描述每一非空集合组成的可数集合都会有一选择函数。但无论如何，即使没有AC或CC，某些集合还是可以有选择函数。

若X为一非空集合组成的有限集合，则可以建立一选择函数，由每一个X的元素内选取一个元素。这只需要做有限多次的选择，所有不需要有AC和CC两个公理。 若X的每一元素都是良序非空集合，则有可能由每一个X的元素中选取其极小元。如此，或许需要有无限多次的选择，但存在一做选择的规择，所以AC和CC再次地不需要有。分辨“良序”和“可良序”是很重要的：当X的元素尽为可良序，则其将需要选取每一元素的一良序，而这可能需要无限多次随意的选择，因此需要有AC(或CC，若X为可数无限)。 若X的每一元素都是非空集合，且其联集为可良序的，则有可能可以选择一此联集的良序，且推导至X内每一元素的良序，如此一个选择函数就可以如前述例子一样地存在。在此一例子里，是有可能只做一次选择来决定X内每一元素的良序，故不需要AC和CC。

本词条内容贡献者为:

尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学