[科普中国]-闭区域

闭区域(closed region)是指简单闭曲线及它的内部，构成“平面闭区域”。类似地，可定义空间闭区域。也称区域与它的边界的并集称为闭区域。区域(region)是几何学的基本概念之一，如果一个平面图形(封闭图形，不包含其内部)能将平面上不属于图形上的点分为若干个部分，使得同一部分任意两点可以用一条与图形无公共点的折线连结，不同部分的任意两点不能用与图形无公共点的折线连结，那么这个平面的每个部分都称为一个区域，该图形称为区域的边界。如果某一个区域的任意两点可以用与该图形无公共点的线段连结，那么这个区域称为凸区域。例如，一直线分平面为两个凸区域，两相交直线分平面为四个凸区域，三角形分平面为两个区域，其中只有一个凸区域(三角形的内部)。一个区域连同它的边界称为闭区域1。

定义定义1连通的开集称为开区域，简称区域。开区域连同其边界所构成的集合称为闭区域。

定义2区域和它的边界构成的区域称为闭区域，记为。若区域可以被包含在一个以原点为中心的圆内，则称是有界的；否则称为无界的2。

相关概念平面点集有限个点或无限个点的集合称为点集，复平面上的点集可视为复数的集合2。

邻域复平面上以为中心，以为半径的圆的内部点(包括或不包括)的集合，即满足不等式

或

的点的集台，称为的邻域。

开集若平面点集中每一个点至少存在一个邻域全部包含于内，则称为开集。

连通若平面点集中任何两点，都可用完全属于的一条折线连接起来，则称是连通的。

区域的定义若平面点集满足如下两条件：

1. 是开集；

2. 是连通的。

那么，称为区域。

简单曲线与闭曲线简单曲线

设连续曲线，如果对于内的任意，对应有，那么称此曲线C是简单曲线。

闭曲线

设连续曲线，如果，那么称曲线C是闭曲线。

闭曲线的内部与外部

简单闭曲线将复平面分为两个区域：

1. 被闭曲线C包围的有界域称C的内部；

2. 不被闭曲线C包围的无界域称C的外部。

单连域与多连域单连域

如果在区域D内任作的简单闭曲线的内部全都包含在D内，那么称D为单连域。

多连域

不是单连域的区域称为多连域。

常见的区域

|| || 表1 常见的区域

闭区域上多元连续函数的性质与闭区间上一元连续函数的性质相似，在有界闭区域上多元连续函数有如下重要性质3。

有界性定理有界闭区域D上的多元连续函数必定在D上有界。

最大值和最小值定理有界闭区域D上的多元连续函数在D上一定存在最大值和最小值。

介值定理有界闭区域D上的多元连续函数必定能在D上取得介于它的最大值与最小值之间的任何值3。

本词条内容贡献者为:

尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学