[科普中国]-直线系

直线系(system of straight lines)亦称直线束，是具有某一共同性质的直线的集合。如在平面仿射坐标系中，与已知直线Ax+By+C=0平行的所有直线组成一个直线系，它的方程为Ax+By+λ=0，式中λ是参数。又如，通过一个定点(x0，y0)的所有直线也是一个直线系，称为以(x0，y0)为束心的直线束，它的方程为λ1(x-x0)+λ2(y-y0)=0，式中λ1，λ2是不同时为零的参数。如果只用一个参数来表示，直线束的方程为y-y0=k(x-x0)，式中k为参数，但此直线束不包含直线x=x0。一般地，对于给定的两直l1： A1x+B1y+C1=0，l2： A2x+B2y+C2=0，含有参数λ1，λ2(不同时为零)的方程λ1(A1x+B1y+C1)+λ2(A2x+B2y+C2)=0表示由l1和l2决定的直线束，并且：1.当l1与l2相交时，是以l1与l2的交点为中心的直线束，称为中心直线束；2.当l1与l2平行(但不重合)时，该直线束称为平行直线束，且当参数λ1，λ2取值为同号或异号时，所对应的直线位于直线l1与l2之间或之外1。

定义直线系是指具有某种共同特征的直线的集合，表示这个直线系的方程叫做直线系方程，其特点是在直线方程中含有一个参数。

确定平面上一条直线，需要两个独立且相容的几何条件，如果只给定一个条件，直线的位置不能完全确定。另一方面，如果只给定一个几何条件时，二元一次方程的两个独立的系数中，只有一个被确定，那个未被确定的系数是参数。

利用直线系方程求直线，可以简化计算过程，欲求适合某两个几何条件的直线的方程，可先用其中一个条件写出直线系方程，再用另一个条件来确定参数值2。

常见的直线系方程常见的直线系方程有以下几种：

（1）有共同斜率的直线系方程。如斜率为2的直线系方程为 (b为参数)。

（2）在 轴上共截距的直线系方程。如截距为3的直线系方程为 (k为参数)。

（3）与直线 平行的直线系方程为 ( 为参数)。

（4）与直线 垂直的直线系方程为 ( 为参数)。

（5）过已知点 的直线系方程为 (k为参数)，不含直线 。

（6）过两直线 及 交点的直线系方程为 ( 是不全为零的实数)。

（7）在两轴上截距之和为定值p的直线系： （ 为参数）。

应用例1 给出两圆 和一点 ，求通过两圆交点和这点的圆。

解： 不用解联立方程求出两圆交点，再求通过三点的圆，这样做工作量相当大。

凡是通过两已知圆交点的圆的方程必呈下形式

要求此圆通过点 得

所以 代入上式得所求圆

例2 求三角形外接圆的方程，已知三角形三边的方程为

解： 按通常的解法，先解三个二元一次方程组，以得出三角形三个顶点的坐标；再按三个条件列出一个三元一次方程组并解出所求圆的系数来，才得出所求圆的方程。

有了直线系和曲线系的启示，这里设计一个新解法：

对于一切实数a和b，二次曲线

必通过三边两两交点。这是因为：设 是一个顶点，以 代替 ，它使这里出现的三个不同的括号中的两个为零，因而上式左端三项都为零，可见曲线(1)通过，即通过任一顶点。

进一步要使二次曲线(1)代表圆，二次曲线是圆的充要条件是两条：

(1)的系数= 的系数；

(2)的系数=03。

于是得

所以

代入式(1)，乘出得所求外接圆的方程为

本词条内容贡献者为:

王海侠 - 副教授 - 南京理工大学