[科普中国]-垂线偏差

垂线偏差是指同一测站点上铅垂线与椭球面法线之间的夹角u。u通常用南北方向分量ζ和东西方向分量η表示。地面点的垂线同其在椭球面上对应点的法线之间的夹角，它表示大地水准面的倾斜。垂线偏差通常用两个分量来表示，一个是子午圈分量ξ，即垂线偏差南北分量；一个是卯酉圈分量η，即垂线偏差东西分量。

定义同一测站点上铅垂线与椭球面法线之间的夹角u，即是垂线偏差。

u通常用南北方向分量ζ和东西方向分量η表示。参见右图。

垂线偏差的另一定义是地面点的垂线方向同正常重力方向之间的夹角。这两种定义的差异，就是正常重力方向同椭球面法线之间的夹角，它位于子午面内。这个差值可以从理论上算出。两种垂线偏差可以相互换算。

垂线偏差可以用于计算高程异常、大地水准面差距，推求平均地球椭球或参考椭球的大小、形状和定位，并用于天文大地测量观测数据的归算，也用于空间技术和精密工程测量。按选取的椭球不同，垂线偏差可分为绝对垂线偏差和相对垂线偏差。

垂线偏差分类绝对垂线偏差又称重力垂线偏差，是垂线同平均地球椭球面法线之间的夹角。因为平均地球椭球是不变的，所以过地面点的法线或正常重力线也是不变的。因而垂线偏差具有绝对意义，它可以利用重力异常，按韦宁·迈内兹公式计算。

在经典的地球形状理论中，需要知道大地水准面上的垂线偏差，因而需将地面点的垂线归算到大地水准面上，组成大地水准面上相应的垂线偏差。由于这种归算同大地水准面和地面间的质量分布有关，而尚不能准确地知道这种分布，因此，计算大地水准面上的垂线偏差分量，理论上就不可能是严密的。为了避免这种不严密性，可采用莫洛坚斯基理论计算地面点的垂线偏差。用零次趋近的莫洛坚斯基公式计算的地面垂线偏差和用韦宁·迈内兹公式算出的数值是一样的。

在重力资料稀少的情况下，垂线偏差还可以根据地壳均衡假说来计算，这样的垂线偏差称为地形均衡垂线偏差。

相对垂线偏差又称天文大地垂线偏差，是垂线和参考椭球面的法线之间的夹角。因为不同的参考椭球过地面点的法线不同，垂线偏差也各不相同，所以它具有相对意义。相对垂线偏差可以利用天文和大地经纬度来计算。1

计算公式（1）垂线偏差公式：

ξ=φ-B，η=(λ-L)cosφ。已知一点的天文和大地经、纬度，就可求得垂线偏差。

（2）拉普拉斯方程：

A=α-(λ-L)sinφ-(ξsinA-ηcosA)cotZ(天)

简化 A=α-(λ-L)sinφ 或 A=α-ηtanφ

（3）这样可以将天文方位角α归算为大地方位角A。

天文纬度φ、经度λ同大地纬度B、经度L的关系：B= φ-ξ；L= λ-ηsecφ

依据上式，便可将天文纬度和经度换算为大地纬度和经度。2

卫星测高中的垂线偏差法研究背景当前国际上利用卫星测高数据反演海洋重力场的方法主要有5 种：①最小二乘配置法；②Stokes公式逆运算法；③Hotine 公式逆运算法；④直接求解法；⑤垂线偏差方法等。其中，最小二乘配置法需要预先确定各参量之间的协方差阵并解算大型矩阵，Stokes、Hotine 公式的逆运算法易受动力海面地形模型误差的影响。而直接求解法在理论上存在一些近似。由于海面高的一次差分技术可以有效减弱动力海面地形、测高卫星径向轨道误差等长波误差的影响，精确计算大地水准面在经、纬度方向的梯度，从而精确确定海域大地水准面上的测高垂线偏差；另一方面，根据物理大地测量的边值理论，各扰动场元之间存在固定的函数关系。因此，可以利用大地水面上高精度的测高垂线偏差计算海洋上高精度的大地水准面、重力异常等扰动场元，上述理论即为卫星测高中的“垂线偏差法”。它为利用卫星测高资料反演高精度、高分辨率的海洋重力场提供了理论依据，标志着卫星测高技术在大地测量中的应用逐步趋于成熟。

垂线偏差法需要先利用卫星测高数据计算海洋上的测高垂线偏差，Sandwell、Olgiati、Hwang先后提出了不同的测高垂线偏差计算方法，它们也是当前国际上测高垂线偏差的主要计算方法。垂线偏差法的另一重要步骤是如何利用测高垂线偏差精确计算海洋重力场，Molodenskii、Sandwell、Hwang 等在不同时期分别提出了各自利用垂线偏差法确定海洋重力场的原理，尤其是Molodenskii、 Hwang利用测高垂线偏差计算海域大地水准面和重力异常的方法在理论上比较严密，在实际工程中应用得比较普遍。研究将重点研究Sandwell 、Olgiati 、 Hwang 三种测高垂线偏差的计算方法和 Molodenskii、 Hwang利用测高垂线偏差法确定海洋大地水准面和重力异常的原理，分析比较了它们之间的异同，总结了它们的优缺点，为科学地利用卫星测高数据反演海洋重力场提供理论依据。

测高垂线偏差的计算方法计算测高剖面垂线偏差的基本原理就是根据测高点测高记录中的位置和时间信息，利用测高数据的一次差分计算测高剖面的数据导数，进而计算海洋上的测高垂线偏差。

测高垂线偏差计算方法间的比较据上文可知，Sandwell 垂线偏差计算方法仅能计算海洋上测高卫星地面轨迹交叉点的(ξ, η )，利用该方法计算了TOPEX/POSEIDON、ERS -1/2在单个覆盖周期内的交叉点及该点的(ξ, η )。鉴于测高卫星的“冻结”轨道特征，测高卫星在各覆盖周期内地面轨迹交叉点的位置精确重复，但由于不同周期不同观测环境的影响，各周期测高卫星地面轨迹在海洋上的有效交叉点数目不尽相同。实验计算结果表明，TOPEX/POSEIDON 卫星地面轨迹交叉点每周期有 7000 个左右，ERS -1/2 卫星(在覆盖周期为 35 天时)约为55000，其空间分布比较稀松，也不均匀。因此，Sandwell 测高垂线偏差计算方法虽然理论严密，在交叉点计算的垂线偏差的精度也比较高，但不能满足利用卫星测高资料反演高分辨率海洋重力场的要求 。

Olgiati 测高垂线偏差计算方法能够计算测高卫星沿迹逐个采样观测点和交叉点的(ξ, η ),(ξ, η ) 的空间分辨率很高，为利用卫星测高数据反演高分辨率海洋重力场提供了条件。但该方法需沿轨迹于相邻交叉点之间各观测点处内插在垂直于轨迹方向的垂线偏差，影响了(ξ, η )的精度和最终所反演重力场的质量。

由于上述两种方法得到的(ξ, η )不规则地分布在观测点或交叉点上，在利用它们计算海洋重力场之前，还必须将其处理成均匀格网上的平均值(ξ, η )。而 Hwang 先利用测高数据计算各观测点在沿迹方向的垂线偏差 ε，然后根据观测方程(10)直接计算测高垂线偏差子午、卯酉分量在格网上的平均值( ξ, η )。该方法不仅理论严密，而且
不需要计算测高卫星地面轨迹的交叉点，计算过程简便，所得(ξ, η )的分辨率比较高，如利用Seasat、Geosat、TOPEX/POSEIDON 卫星测高资料可计算全球 82° S ～ 82° N 海域 2′×2′ 的(ξ, η )，使利用卫星测高资料反演高精度、高分辨率海洋重力场成为可能。3

本词条内容贡献者为:

王沛 - 副教授、副研究员 - 中国科学院工程热物理研究所